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équilatéraux. Cai*, si les deux cótés qui comprennent 1’ angle diolt , soni 
égaux et rationnels, il est impossible qu’ ils soient sous-tendus par un nom- 
bre rationnel, et s’ ils sont sous-tendus par un (nombre) rationnel, il est im- 
possible qu’ ils soient rationnels et égaux. En effet, il ne saurait exister de 
nombre ayant une racine rationnelle , et dont le doublé alt également une 
racine rationnelle. 
OBSERVATION. 
Le fait énoncé par l’auteur est une conséquence du théorème démontré déjà par Eu- 
clide dans la 117® proposition dn X® livre des Élémenls (page 325 de l’Édition d’Oxford), 
ou de la vérité que E2 est une quantité irrationelle. 
3. 
Nous avons trouvé que 1’ hypoténuse de chacun de ces triangles qui sont 
les souches des espèces, c’est à dire le coté qui sous-tend l’angle droit, est 
toujours impair, et que ce nombre impair est constamment divisible en deux 
nombres dont on peut extraire la racine, et dont l’un est impair et l’autre 
pair. 
Nous avons trouvé aussi que ces nombres impairs se suivent dans un 
ordre déterminé par une propriété unique, et qu’ ils n’en sortent jamais. C’est 
que le premier des nombres qui peuvent étre des hypoténuses, est le nom- 
bre cinq. Or, si l’on ordonne les nombres impairs qui suivent le cinq, d’aprés 
leur ordre naturel, à savoir: sept, neuf, onze, treize, quinze, dix-sept, dix- 
neuf, vingt un, vingt trois, vingt cinq, vingt sept, vingt neuf, trente un, et 
ainsi de suite Jusqu’au nombre que vous voudrez ; vous trouverez qu’ entre 
le second des nombres qui peuvent étre des hypoténuses de triangles sou- 
cbes de leurs espèces, et entre le cinq qui en est le premier, sont compris 
trois nombres impairs, et que le (nombre dont il s’ agit), est le quatrième, 
à savoir treize. (Vous trouverez) ensuite qu’ entre ce second nombre et le 
troisième est compris un seni nombre impair, et (le nombre cherché) est le 
second (à partir du précédent) à savoir dix-sept. Entre ce troisième et le 
quatrième sont compris trois nombres (de la suite que nous venons de dire); 
ensuite entre le quatrième et le cinquième un nombre, entre le cinquieme et 
le sixième trois nombres, et entre le sixième et le septième un nombre; et 
ainsi de suite, en montant de cette manière jusqu’au nombre que vous vou- 
drez, si ce n’est que cette suite comprend aussi (quelquefois) un nombre im- 
