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pair qui n’est pas décomposable en deux nombres doni on puisse extraire 
la Tacine, comme par exemple quarante neuf, soixante dix-sept et cent vingt 
un. Lorsqu’on arrive à un nombre semblable, il est impossible que ce (nom- 
bre) soit hypoténuse d’un triangle, mais il en occupe seulement le rang; les 
nombres qui le suivent, restent rangés suivant l’ordre que nous avons expli- 
qué, et qu’ ils ne cessent pas de conserver. 
OBSERVATIONS. 
L’auteur énonceici trois théorèmes: premièrement que l’hypoténuse d’un triangle pri- 
mitif est toujours décomposable en deux carrés. Seconderaent qu’ elle est toujours de la 
forme ou 12m + 5. Troisièmement que touts les nombres de la forme ou 
12W-+-5 ne soni pas réciproquement des hypoténuses de triangles primitifs. 
Pour nous rendre compte de la justesse de ces théorèmes il ne sera pas inutile d’ex- 
poser en quelques mots les principes fondamentaux de la théorie dont 1’ auteur s’ occupe ; 
ces explications serviront en méme temps de base à l’éclaircissement d’autresconsidérations 
que l’auteur développe dans la suite de son traité. 
1. Soit 
xz -+-y^ = Z’- 
un triangle rectangle primif. Comme x, y, z sont premiers entre eux, ni deux de ces nom- 
bres, ni tous les trois ne peuvent étre pairs. Ils ne peuvent pas non plus étre tous les trois 
impairs, parce que la somme de deux nombres impairs est paire. Le seul cas ppssible est 
donc que l’un des trois nombres soit pair, et que les deux autres soient impairs; et encore 
on voit que ce n’es pas x el y qui peuvent a la fois étre impairs; car la somme de deux 
carrés impairs (2/x -t- 1)* h- ( 2v + 1)2 est de la forme 4m + 2 = 2(2m + l) ce qui ne peut 
pas étre un carré. Il résulte de là que l’ hypoténuse d’ un triangle rectangle primitif est 
toujours impaire, tandis que l’une de ses deux cathètes est paire et l’autre impaire. 
^ sont des nombres entiers ; 
o, -. .. - I ■ z-\- X z 
Soit y la cathete paire; il sensuit que — ^ — et 
2 2 
mais ce sont en méme temps des nombres carrés. En effet, on a 
Z X Z — X 1 
2 • 2 = 4 ^^- 
„ Z'->rX Z — X . Z — X Z-\-X „ ^ 
Or , — ^ et — — sont premiers entre eux; car, si — et — — avaient ,un lacteur 
2 
2 
2 
2 
, Z-i~X Z — X , . . 
commun 8, de sorte que — - — = r8 et — — = sS, il s ensuivrait que 
À À 
z=(r-i-s)S et X = {r — s)S , 
et le triangle ne serait pas primitif. Le produit de deux nombres premiers entre eux 
Z-i- X Z — X 
et 
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2 
