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étant un carré, il faut donc que chacun de ces deux nombres soit un carré. Conséquem- 
nient z est la somme de deux carrés. On voit en méme temps que x est la différence des 
deux mémes carrés, tandis que y est deux fois le produit des racines des mémes carrés. 
2. Tout triangie rectangle primitif étant, comme on vient de le voir, de la forme 
(«2 J2)2 -)_ (2a6)2 = ^2)2 ^ 
on obtiendra tous les triangles primitifs en prenant pour a et b toutes les valeurs qui ren- 
dent a^-*-b^ impair, d’où il suit que toujours l’un des deux nombres a, b doit étre pair 
et l’autre impair , donc a b de la forme 1. On obtiendra par conséquent tous les 
triangles primitifs en prenant toutes les décompositions de tous le nombres impairs: 
-+- 1 = {« -(- « -H 1) -f- (n — a) où a = 0, 1, 2, n — 1 , 
et en excluant parmi ces décompositions où et n — a auraient un facteur com- 
mun. On voit d’abord qu’aucuue de ces décompositions ne peut étre identique avec une dé- 
composition précédente ; et que les cótés de tous le triangles résultant de ces décomposi- 
tions seront représentés par les expressions 
1) (w + «H-l)2 — {n — a)2 = (2n-t- t)(2«4- 1) 
2) 2(« + a-l-l)(w — a) 
3) {n a -f- 1)2 -H \n — a)2 = %n{n + 1) 2a(« -h 1) 1 
De ces expression il suit immédiatement que, pour que le triangie soit primitif, il faut et 
il sulBt que (w-i-a-4-1) et (w— «) soient premiers entre eux. On reconnait, en outre, qu’au- 
cun triangie ne se présentera deux fois. Car si deux décompositions d’unméme nombre im- 
pair 2n-i-l donnaient lieu à deux triangles égaux, les hypoténuses de ceux-ci seraient éga- 
les, donc 
2w(w-(- 1) -(- 2a(a -t- 1) 4- 1 = 2w(n 1)-|- 2a'(a'-f- 1) -t- 1 , 
ce qui est imbossible tant que a est différent de «, attendo qu’ on ne peut pas prendre 
a.' — — (a-f-1). Si les deux décompositions appartenaient à deux nombres impairs différents 
2w -+- 1 et 2w'-f-l, on remarquerait que non seulement les deux hypoténuses doivent étre 
égales, mais encore que le coté 1) de l’un des deux triangles doit étre égal au còté 1) et 
non pas au còté 2) de l’autre, parce qu’un nombre impair ne peut pas étre égal cà un nom- 
bre pair. Ou aurait donc les deux équations similtanées 
(n -H a 1)2 -4- [n — a)2 =; [n' 4-V^-h l)2-f- [n ' — «')2 
(n-f- a H- 1)2 — (n — a)2 = [n' -h a 1)^ — [n ' — «')2 
d’où l’on tirerait les suivantes 
Il — t- « -f- 1 = — 1— 0^ ~t~ 1 
n — a = n' — K 
lesquelles donneraient enfln n = n', cr.==a\ ce qui est contraire à rbypothèse. 
3. La seconde valeur du troisième còté 
2«(n 4- 1) 4-2afa 4- 1) 1 
prouve que l’hypoténuse est toujours de la forme et conséquemment que, par rap- 
