pori au modale 12, elle ne peut étre que des formes 12m 4 - S, 12m-i- 9. Mais 
il est aisé de voir que cette dernière forme doit étre exclue, parce que l’hypoténuse d’un 
triangle rectangle primitif ne peut pas étre dixisible par 3. 
En effet, tout carré ne pouvant étre que de la forme 3m ou 3m -+- 1, la somme des 
deux carrés (n - h«+ 1)2h- ( n — a )2 ne pourra étre divisible par 3 quelorsque chacun des 
deux carrés séparément est divisible par 3, et, par conséquent, lorsque n-j-a + l et n— a 
sont chacun divisible par 3. Mais, dans ce cas, les deux cathètes seraient également divi- 
sibles par 3, donc le triangle rectangle ne serait pas primitif. 
Il suit de là que rhypoténuse d’un triangle rectangle primitif est toujours de la forme 
12m -i-1 ou de la forme 12m + 0 (*). 
4. La réciproque n’a pas lieu. Tout nombre des formes 12m -t- 1 ou 12m 4 - 5 n’ est 
pas nécessairement décomposable en deux carrés. Car, soient p, q, r, s des nombres 
premiers et, inégaux, plus grands que 3 et de la forme 4m-+-3, et soient, t,u, v,w ... des 
nombres premiers, et inégaux de la forme 4w4-l; le nombre 
a/3yS \ V p 
p . q . r . s t . u . V . w ... . 
(où la somme «4-(34-7 '-hS+ ... des exposant des facteurs de la forme 4m 4 - 3 doit étre 
paire et >0, tandis que ces exposant mémes ne doivent pas tous étrepairs) sera toujours 
de la forme 12 wh -1 ou 12 w 4 - S , et cependant ne pourra pas étre décomposé en deux 
carrés. Paraillement le nombre 
K p y S 
[p . q . r . s .... )^ 
{*) De ce qui précède découle immediatement la démonstration d’un théorème que M. 
Poinsot a énoncé dans la séance du 7 mai 1849 de l’Académie des Sciences de Paris 
(Comptes Rendus, I.®’’ semestre 1849, pag. 582), à savoir que le produit des trois còtés du 
triangle est toujours divisible par le produit 3. 4. 5, mais que rhypoténuse n’cst jamais di- 
visible par 3 ou 4. 
1 L’hypoténuse z. étant de la forme 12m4-l ou 12m4-5, ne peut étre divisible ni 
par 3, ni par 4. 
2. La cathète 
y = 2(w -4 a - 4 - \]{n — a] 
est toujours divisible par 4. Car, si w et « sont à la fois pairs ou impairs, n — a. est pair; 
et si l’un des deux nombres n, a. est pair et l’autre irapair, w-h»-h 1 est pair, 
3. L’un des trois cótés x, y, z est nécessairement divisible par 5. En effet, chacun 
des deux carrés (w-+-a4-l)^ et {n — a )2 ne peut étre que de l’une des trois formes 2om, 
5 w 4-1 , 5m-i-4. Si l’un des deux carrés est de la forme 5m4-l et l’autre de la forme 
5w-ì- 4, z est divisible par 6. Si l’un est de la forme 25 m et l’autre de la forme bm - 1 - 1 
ou 5m-f- 4, y est divisible par 5. S’ils sont tous les deux de la forme bmn-l ou 5m-t-4, 
X — [n ex. — [n — a )2 est divisible par 5- 
4. L’un des deux còtes x, y est nécessairement divisible par 3. Car chacun des deux 
carrés (w 4 -«-i-l )2 et {n — a}^ ne peut étre que de l’une des deux formes 9m ou 3m-i-l. 
Si l’un est de la forme 9m et l’autre de la forme 3m-Hl, y est divisible pai 3; et si tous 
les deux sont de la forme 3m 4-1, x est divisible par 3. 
