— 218 — 
OBSERVATIONS. 
Après avoìr énoncé que la suite des nombres des formes et ren- 
ferme des nombres qui ne sont pas décomposables en deux carrés, l’ auteur fait observer 
maintenant, qu’elle en renferme qui le sont de plus d’une manière. En effet, en désignant 
par t, u, V, w, . . . . des nombres premiers et inégaux de la forme 4 wih- 1 et par un 
facteur quadratique dont les facteurs premiers sont de la forme et plus grands que 
3, le nombre 
À //- V p 
t . u . V . w . . . . 
sera de la forme 12w -h 1 ou 12 -i- o, et décomposable en deux carrés de 
ou de 
(X 1)(^ -f- 1)(» -f- l)(p -H 1). . . . ^ 
raanières, selon que parmi le nombres x, pi, v, p, .... il s’en trouve un au moins qui soit 
impair, ou qu’ ils sont tous pairs. (Comp. Gauss, Disquisitiones arithmedcae.U^sìaelSO]. 
Pagg. 218, 219). 
Remarquons qu’ il faudra exclure quelquefois certains de ces décompositions parce 
qu’elles ne donnent pas lieu à des triangles primitifs. Ainsi, le nombre (4w2-l-l)3 est de la 
forme 12m-t-l ou 12m-t-5 (suivant que est de la forme 3m ou 3m -Hi), et donne lieu 
aux décompositions 
1) (4/12 1)3 = ( 4jj2-t- 1)^-1- (8w3 4- 2n)2 
2) (4//"-h1)3=(12/ì"— 1)=*-H (8//3~ 6//)== . 
La première de ces décompositions doit étre exclue, parce que les deux carrés qu’elle 
donne, ont le facteur commun (4//^-t-l)^. La seconde au contraire donnera toujours lieu 
à un trìangle primitif, parce que 
12 /J 2 — 1 et — 6// =(4//^ — 3)2/? 
sont premiers entre eux. En effet. 12/?^ — 1 ne peut d’abord étre divisible ni par 2, ni par 
n, ni par un diviser de n. Ensuite si 
12/?^ — 1 et 4/?* — 3 
avaient un facteur commun s, de sorte que 
12 /?^ — l = p.S et 4/?^ — 3 — q.S , 
il s’ensuivrait S = {p ~3q]S, et s devrait étre un des nombres 8, 4, 2. Mais 
12/i* — 1 et 4/i*— 3 
sont impairs. Donc 12/i* — 1 et 8/i3— 6/i premiers entre eux. 
