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L’auteur ne nientionne que des décomposition en deux carrés de deux manières dit- 
ferents; problablement parce qu’ il n’a sous les yeux qu’un commencement peu étendu de 
la suite des nombres de la forme et 12m-+-5. 
Il s’exprini^ aussi presque corame s’il avait pensò que les nombres de cette suite 
qui ne sont pas décomposables en deux carrés, et cewx qui le sont de plusieurs manières, 
se préseutent à tour de ròle. Ce serait un erreur. En effet, les deux nombres 469 et 473 
qui ne sont pas décompasables en deux carrés, sont deux termes contigus de la suite, il 
en est de mérae des deux nombres 209 et 217 ; les deux nombres 329 et 341 ne sont 
pas decomposables en deux carrés, et ne comprennent cependant entre eux que le nom- 
bre 337 qui n’est décomposable que d’una seule manière; de inéme les nombres 38S et 413 
qui ne sont pas décomposables en deux carrés, ne comprennet entre eux que les nom- 
bres 389, 397, 401, 409, tous décomposables d’une manière seulement en deux carrés. 
Les dernières lignes de l’auteur sont d’une certaine iraportance bistorique. Les formules 
telles que « si telle est la volonté de Dieu », et l’opposition établie entre les « ouvrages anciens » 
c’est à dire les ouvrages grecs, et les traités de calcul des « raodernes, » prouvent que l’au- 
teur est mahométan, et que ce qu’ il y a dans le présent traité d’original sur la théorie des 
triangles rectangles en nombres entiers, appartieni à l'école arabe. D’un autre coté des dates 
de copie qu’ on trouve à la fin d’ une assez grande partie des morceaux contenus dans le 
ms. qui renferme ce fragment, constatent que ces morceaux ont été copiés pendant les an- 
nées 969 à 972 de notre ère; il y a donc toute probabilité que l’auteur du fragment écri- 
vit ce traité avant 972. A cette époque le développement des Sciences chez les Arabes du- 
rali environ depuis deux siècles: et Je pense qu’ il faut piacer la composition du présent 
traité bien plutòt vers la fin que vers le commencement de cet espace de temps. 
5 . 
Il esiste différentes manières d’arriver à la connaissance des cótés qui 
comprennent l’angle droit de chacun de ces triangles. Une de ces manières 
consiste à diviser 1’ hypoténuse que vous voudrez, dans ses deux parties dont 
on peut extraire la racine, à prendre la racine de l’une de ces parties, et à 
la multiplier par deux fois la racine de l’autre. Le produit sera toujours un 
nombre pair; et ce résultat (de la multiplication) est l’un des deux cótés de 
ce triangle. Ensuite vous additionnez les deux raciues, et vous multipliez la 
somme par la différence des deux (racines). Le résultat, qui est toujours un 
nombre impair, est l’autre cóté. 
Par ce procédé on obtient ces triangles suivant l’ordre, de manière que 
l’un se présente après l’autrej il n’en sera oublié aucun, et il ne pourra ar* 
river ni qu’on en omette un pour en prendre un autre, ni que certains d’en- 
tre eux aient des diviseurs cominuns avec certains autres. 
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