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Par exemple, le trois se divise en un et deux. Si vous multipliez l’un 
par le deux (pris) deux fois , vous aurez quatre , ce qui est 1’ un des deux 
cótés (comprenant 1’ angle droit) du premier triangle. Si vous multipliez la 
somme de l’un et du deux par la difference de ces deux (nombres) qui est 
un, il resuite trois, ce qui est de second coté- Et si vous multipliez chacun 
de deux (nombres) par lui-méme, et que vous additionnez les produits , il 
resulto cinq, ce qui est l’hypoténuse. 
Paraillement le cinq, qui suit le trois , se divise en trois et deux , et 
en un et quatre. Si vous opérez sur le trois et le deux comme nous l’avons 
dccrit, vous aurez le second triangle, qui est cinq et douze sous-tendus par 
treize. Et si vous opérez d’une manière semblabe sur le quatre et l’un, vous 
aurez le troisième triangle, qui est quinze et buit sous-tendus par dix-sept. 
De méme le sept se divise en trois et quatre, en deux et cinq, et en 
un et six. 
Il est évident que, « et è étant deux nombres quelconques dilTérents l’un de l’autre, 
on aura 
Celle formule est aussi celle qu’on trove constamment employée dans le VI.® livre de Dio- 
phanle. Mais il faut remarquer que celle solution de l’ equation a?* - 4 - ?/’ = n’ est qu’un 
cas particulier de la solution générale donnée déjà par Euclide (Eléments, X, 29, lemme 1), 
savoir 
où et doivenl élre en méme temps pairs ou impairs. 
L’auteur fait observer ensuite que, pour que le triangle soit primitif, il faut qu’on 
ait a4-è = 2w-f-l; c’est ce qui a été déjà expliqué ci dessus (observations 3) . Il va com- 
pléter ci-après celle condition en ajoutant qu’il faut, en outre, que a et è soient premiers 
entre eux. 
Prenant pour exemples les nombres impairs 3 et 5, il a 
'2w-t-l=3, 6 = 1; %ab = 4 , (a -t- 6) (a — 6) = 3 , -t- 6^ = o 
OBSERVATIONS. 
[{a -^-b)[a — b)Y -t- [2as6]^ = [«*■+• 6^]*. 
a=3, 6 = 2; 2a6 = 12, (a -i- 6)(a — 6) = 5 , <j^-h6"=13 
a—i, 6 = 1 ; "ìab = 8 , {a-+-b]{a — 6) = 13, a^-h6^ = 17. 
7. 
L’opéralion (ci-dessus mentionnée , appliquée) à chaque couple de ces 
parties, produit un de ces triangles suivant l’ordre. Cependant si vous con- 
