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tinuez de cette manière, les triangles ne sont plus produits suivant l’ordre, 
mais confundus entre eux. C’ est pourquoi j’ ai dit quii faut que vous ayez 
sous les yeux les hypoténuses ranges suivant l’ordre, afin qu’ il n’y ait poùr 
vous rien de difficile dans cette recherche. Vous verrez cela clairement dans 
le tableau que je vous en preposerai, si telle est la volente de Dieu. 
Si vous trovez qu’ un des nombres impairs , lorsque vous en faites la 
décemposition, se divise en deux parties qui ontun diviseur commun, n’em- 
ployez pas ces deux (parties), parce que le triangle qui en résulte , est de 
l’espèce d’un triangle précédent. 
Ainsi parmi les décemposition du neuf se trouvent six et trois qui ont 
un diviseur commun. L’ opération (ci-dessus décrite, appliquée) à ces deux 
(nombres), produit un triangle dont un des deux cótés (comprenant l'angle 
droit) est trente six , Tautre vingt sept , et l’ bypoténuse quarante cinq. Ce 
(triangle) est de 1’ espèce du triangle trois et quatre dont 1’ bypoténuse est 
cinq. 
Paraillement parmi les décompositions du quinze se trouvent : six et 
neuf , cinq et dix , trois et douze. Chacun des ces couples a un diviseur 
commun, et ne donne lieu qu’au multiple d’un triangle précédent. 
De méme parmi les décompositions du vingt et un se trouvent : neuf 
et douze, sept et quatorze, six et quinze, trois et dix-buit. Tous ces (cou- 
ples), se comportent cornme on vient de le dire. Entendez cela, si Dieu le 
permet. 
OBSERVATIONS. 
L’auteur veut dire, dans le premier alinéa, que si l’on decompose les nombres im- 
pairs suivant l’ordre dans deux parties a , è , et si on forme au moyen de chaque couple 
a, b un triangle rectangle , les hypoténuses -+- b^) de ces triangles ne se suivent plus , 
à partir d’un certain point, d’après Tordre de leur grandeur. Le premier cas de ce genre 
se présente pour le nombre 9 qui donne lieu, par la décemposition 8-+-1 à l’hypoténuse 65, 
tandis que le nombre 11, par la décemposition 6-+-S, donne lieu à 1’ bypoténuse 61. 
En général, étant proposés deux nombres impairs i = a+b et i'—a'-hb', où **<«', 
on aura cependant b^ Z> b'^, si 
{a — bf — {a' — è')2 > [a' -{-b']^ — [a-^b]^ . 
Prenant pour a — b et a' — b' les limites extrémes en posant 
, è=l , a'=n'->r\ , b' =n' , 
on volt que cette inégalité pourra avoir lieu dès que ^n'{n' -+-1) pendant que ncyi'-, 
