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par conséquent dès que %n' — \)^>n'[n->r\) , d’où w'>5. L’ inégalité doni il s’agit peni 
dono avoir lieu dès que n' = 5, n=i, ou à partir des nombres impairs ^ = 9, i' =11. 
Le tableau auquel l’auteur fait allusion est celui qu’on trouvera ci-dessous au N.“ 19. 
Ensuite l’auteur complète la condition qui doit étre remplie que a et 6 produisent 
un triangle rectangle primitif, en énoncant comme nécessaire que a et 6 soient premiers 
entre eux. (Comparer observations 6.) Les valeurs a-^b =3, 5, 7 considérées précédem- 
ment, n’avaient pas donné lieu à cette remarque. En effet, si a et 6 ont un commun divi- 
seur 8, de sorte que a==ps, b = qs, on a 
(a H- b){a — b) — (p* — q'^)S2 
'ìab = ^pqs^ 
aZ ^ 1)2 ^ (p2 .4_ ; 
le triangle produit sera donc semblable au triangle produit précédemment au moyen des 
nombres p el q qui forment une décomposition d’un nombre impair plus petit que ps-\-qS; 
car si {p -t- q)8 est impair, p -\-q l’est égalemeiit. 
8 . 
U existe différentes manièies de produire ces triangles, doni une con- 
siste en ce que (si vous prenez) dcux nombres quelconques se suivant | d’après foi. S2 verso. 
l’ordre naturel , la somme des deux (nombres) est un coté du triangle , et 
le produit de l’un des deux (nombres) par l’autre (pris) deux fois est le se- 
cond còte du méme triangle. 
OBSERVATIONS. 
Prenant deux nombres consécutifs m et m-t-1 on a 
[m -t- (w 1)]2 -h l)]^ = [2m(m -i- 1) + l]^. 
Cette règie est exactement celle que Proclus, dans son Commentaire du premier Livre des 
Éléments d’Euclide (Éd. de Bàie, pag. Ili; traduction de Barocius, Padoue 1560, pag. 271) 
attribue à Pythagore, et qu’ il énonce de la manière suivante: « (Cette méthode) pose le 
nombre donné impair comme le plus petit des deux cótés coraprenant l’angle droit; prenant 
le carré du méme nombre, et en retranchant une unité, elle pose la moitié du reste comme 
le plus grand des deux cótés comprenant l’angle droit: ajoutant de nouveau à celui-ci 
une unité, elle forme le cóté qui reste, à savoir l’ hypoténuse. » Or , designant le nom- 
bre donné impair par 2wh- 1, on a précisément 
2m -f- 1 
(2m_i_ 1)2 — 1 
2 
= TO -+- (W H- 1) 
= 2m(m -f-1) 
(2m-+- 1)2—1 
-l- 1 = 2 tw(wìh- 1) 
1 
2 
