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Ces expressions montrent en méme temps que cette formule donne toujours des trianglespri- 
mitifs; car est premier à (2 jw -<- 1)2 — 1 et à (2m-»-l)2 4-l; et 
(2m-h 1)2—1 1)2 H- 1 
2 ’ 2 
soni premiers entre eux comme ayant pour diiférence l’unité. 
9. 
Et (si vous prenez) Iroìs nombres quelconques , se suivant en succes- 
sion continue d’après Tordre nature!, le produit du premier de ces (nombres) 
par le troisième est un coté d’un de ces triangles, et le produit du (nom- 
bre) moyen par deux est toujours le second coté du méme triangle. 
Si r on additionne le premier et le troisième (nombre) , il en résulle 
pareillement le second coté, parce qua tout nombre est la moitié des (deux 
nombres) qui 1’ avoisinent. Il revient donc aii méme que nous multipliions 
le (nombre) moyen par deux, ou que nous additionnions le deux extrémes. 
(Il faut remarquer) cependant que, si le premier et le dernier des trois 
nombres sont impairs, il en résulte par cette opéralion un triangle qui est 
soucbe de son espèce ; et si le premier et le dernier sont pairs , il résulte 
par cette opération un triangle qui appartient à une espèce qui s’ est déjà 
présentée antérieurement. 
S’ 11 en est ainsi , il résulte de cette proposition que si 1’ on multiplie 
un nombre pair quelconque par deux , le produit est un coté d’ un de ces 
triangles qui est soucbe de son espèce; et si ou multiplie 1’ un par 1’ autre 
les deux nombres impairs qui se trouvent placés des deux cótés de ce nom- 
bre pair, la produit est le second coté du méme triangle. 
Par exemple (prenons) un , deux , trois. Le produit de deux par deux 
est un coté d’un triangle (rectangle), c’ est quatre ; et l’unité fois trois est 
trois, ce qui est le second coté du méme triangle. De méme (prenons) trois, 
quatre, cinq. Le produit du quatre par deux est huit, ce qui est un coté 
d’un triangle (rectangle); et le produit du trois par cinq est quinze, ce qui 
est le second coté du méme triangle. Et pareillement des autres. 
Quant aux (cas où les deux extrémes sont des nombres) pairs , (pre- 
nons) par exemple deux, trois, quatre. Le produit du trois par deux est six, 
ce qui est un coté d’un triangle (rectangle) ; et le produit du deux par le 
quatre est huit , ce qui est le second coté du méme triangle ; si ce n’ est 
