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qae ce tiiangle est de 1’ espèce du triangle souche qui est trois et quatre 
avec r hypoténuse cinq. Entendez cela, si Dieu le permei. 
OBSERVATIONS. 
Prenant trois nombres consécutifs m — 1, m, m-t-1, on a 
[(m — l)(m -H 1)]^ +[2m]2 = 
Cette règie est identique à celle que Proclus, à reodroit que je viens de citer, attribue à 
P(aton , et qu’ il énonce en ces termes : « Le méthode de Platon prend pour point de dé- 
part les nombres pairs. Car prenant un nombre pair donné, elle le pose corame un des 
deux cotés coraprenant l’angle droit; et partageant ce uombre en deux parties égales, prè- 
nant le carré de la moitié, et ajoutant une unité au carré, elle produit l’hypoténuse : mais 
retranchant une unité du carré, elle produit le second des deux còtés qui comprennentl’an- 
gle droit. » Cela revient à poser la formule 
(m2 — l)2-t- (2m)2 = {wi^ + l)2 . 
Il est évident que, si m est un nombre impair le triangle n’est pas primitif, 
parce que les trois còtés sont divisibles par 2; car on a dans ce cas 
TO2— 1 =2(2f*2 + 2f>c) , 2m = 2(2f4-t-l) , W2 + l = (2f*2-t-2fA-|-l) . 
Au contralre si m est pair, — 1 et ni 2 -+- 1 sont impairs et par conséquent pre- 
raiers entre eux; car ayant pour difference 2, s’ilr avaient un facteur commun, ce ne pour- 
rait étre que 2; corame, en outre, 2m est en ce cas premier à et à — 1, ceux- 
ci n’étant ni pairs, ni divisibles par m: il s’ensuit que, si m est pair, le triangle produit 
est toujours primitif. 
On voit du reste que, dans le cas où m est impair, les moitiés des còtés du trian- 
gle que l’on obtient, sont les còtés d’un triangle rectangle primitif formé d’après la regie de 
Pytbagore. 
10 . 
(Si l’on prend) quatre nombres consécutifs quelconques suivant 1’ ordre 
naturel, et si on multiplie l’un des deux moyens par l’autre (pris) deux fois, 
le résultat est un coté d’un de ces triangles qui est souche de son espèce; 
et si r on additionne les deux extrémes , le résultat est le second coté du 
méme triangle. 
Par exemple (prenons) un, deux, trois, quatre. Le produit de deux par 
trois (pris) deux fois, est douze, ce qui est un coté d’un de ces triangles: et 
la somme de l’un et du quatre qui sont les deux extrémes, est cinq, ce qui 
est le second coté du méme triangle. 11 en est de méme des autres nom- 
bres. Donc (soient proposés) deux, trois, quatre, cinq. Si vous multipliez le 
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