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on a 
1) [4(2m 1)]2 H- [(2m — 1)(2« -+- 3)]2 = [(2w -t- I 2 ) - 1 - 4]^ 
ce qui est la première des deux régles énoncées par l’auteur; elle donne évidemment lieu 
à un triangle rectangle primitif; car les nombres 2m — 1, -h 3 étant irapairs et premiers 
entre eux, les còtes 4(2m 1) et (2 ot — l)(2m-4-3) sont également premiers entre eux. 
On peut généraliser cette formule en prenant les trois nombres 
bm-\-c — b, bm-\-c, bm-^c-^b , 
qui donnent lieu au triangle rectangle 
2) [26(6m c )]2 -H [[bm -t- c — b][bm -4- c -h b)Y = [{bm -4- c)^ b^Y. 
Le formule 2) se réduit à la formule 1) pour 6 = 2, c=l; et elle donne la règie de Pla- 
ton, si l’pn fait 6 = 1, c = 0. 
Prenant quatre nombre impairs consecutifs 
2m — 3 , 2w — 1 , -4- 1 , 2m -h 3 
on a 
3) [(2m — l)(2m -i-l)]2 + [(2m — 3) 4- (2m -f- 3)]2 = [(2m)2 — 1]^ = 
ce qui est la seconde des deux règles énoncées par l’auteur. On voit que les triangles re- 
ctangles représentés par cette formule sont compris parmi ceux que donne la règie de Pla- 
ton, et que ce sont tous ceux de ces derniers triangles rectangles qui sont primitifs. Com- 
parer les observations 9. 
Du reste toutes les règles particulières proposées dans les numéros 8 à 11, sont con- 
tenues dans la formule précédemraent proposée 
[(<*4- 6 ){a— 6)]2-+-[2a6]2= -t- 62 ]^ ; 
car en y faisant a — bm~\-c, on obtient la formule 2); en faisant a — 6=1, la règie de 
Pythagore; et en faisant 6=1, la règie de Platon. 
Le dernier alinéa du présent numéro rappelle un passage du N.® 6 (voir ci-dessus 
pag. 220 , lig. 23 à 34) et le commencement du N.° 7. Quant à la suite des nombres qui 
peuvent étre hypoténuses de triangles rectangles primitifs, il en a été question ci-dessus aux 
numéros 3 e 4. 
12 . 
Farmi les (propriétés) qui se présentent dans ces triangles, et qui leur 
sont naturellement inhérentes (nous devons mentionner) aussi que, si les nom- 
bres impairs sont rangés à partir du trois suivant l’ordre | naturel, que l’on 
divise chacun de ces nombres en deux parties dont Fune dopasse l’autre seu- 
lement d’ une unite , et que T on forme un moyen de ces parties les cótés 
d’un de ces triangles de la manière que nous avons décrite: alors l’aire du 
