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Conséquemment , si vous voulez diviser un nombre en deux nombres 
doni on puisse extraire la racine, ne cherchez pour chaque nombre que ce 
qui peut's’y trouver, en laissant de coté le reste. Cela faciliterà la découverte 
de la chose cherchée, si telle est la volonté de Dieu. 
OBS'ERVATIONS. 
Les premières lignes du présent nuiuéro me paraissent contenir une confirmation de 
ce que j’ai dit ci-dessus (observations 1.), à savoir que la partie perdue de ce fragment, 
qui formait le commencement du trailé, n’était pas d’une étendue considérable; car Tauleur 
dit ici que la règie de trouver les deux còtés qui compreunent fangle droit, en décompo- 
sant l’hypoténuse en deux carrés, faisait partie du premier chapitre, et cette règie est pro- 
posée ci-dessus dans le N.® S. On peut conciare de là que ce qui nous manque de ce trailé, 
ne formait qu’une partie, et méme une assez petite partie du premier chapitre. Le manus- 
crit 952 bis Suppl. ar. n’offre plus de trace de cette division en chapitres mentionnée ici; 
la division en numéros adoptée dans la présente traduction, a été faite par moi, d’après la 
la nature du contenu, pour faciliter l’ intercalation des observations. Le raanuscrit présente 
seulement en beaucop d’endroits un petit signe composé de trois points et marquant des 
sections, mais ne correspondant évidemment pas aux chapitres doni il s’agit ici, et qui se- 
raient déterminés au moyen de ce signe d’une facon fori arbitraire. On aura remarqué aussi 
que les théorèmes énoncés ne soni pas accompagnés de démonstralions , chose assez rare 
dans les traités mathématiques arabes. Il n’est pas impossible que le géomètre Alsidjzì, qui 
parait avoir copié et recueilli pour son propre usage les morceaux contenus dans le ms. 
N.“ 952 bis, ait supprimé la division en chapitres et les démonstralions d’un originai plus 
compiei qu’ il avait sous les yeux. Mais ce n’est qu’une conjecture. En toutcas le morceau 
que la copie d’Alsidjzì nous a conservé, est antérieur à l’ an 972 de notre ère, et un docu- 
ment précieux pour l’hisloire des mathématiques chez les Arabes. 
Le présent numéro nous fournit une nouvelle preuve de cette dernière assertion, en 
nous présentant en quelqne sorte la première trace d’une considération des résidus quadra- 
tiques. Voici, en effet, sur quelles raisons est fondée la règie donnée par l’auteur pour abré- 
ger la recherche des couples de carrés dans lesquels on pourra décomposer des hypoténu- 
ses proposées. Il est évidenl que le premier chilTre à droite d’ un nombre carré est résidu 
quadratique par rapport au module 10, ou 0; le premier chilTre d’un nomhre, qui est la somme 
de deux carrés, sera doncun des nombres qu’on obtient en additionnant deux à deux les nom- 
bres 0,1, 4 , 5,6, 9 , et en retranchant 10 de la somme, s’ il y a lieu. On obtient ainsi 
0^0 = 0 
0 1 = 1 
0 4 = 4 
0-^ 5 = 5 
O-f-6 =6 
0 -f- 9 = 9 
l-t-l = 2 
l-*-4 = 5 
1 -h 5=6 
1 -f- 6 = 7 
1 9 = 0 
4 4 = 8 
4 -t- 5 = 9 
4 -t- 6 = 0 
4-^- 9 = 3 
5 -^5 = 0 
5 -t-6= 1 
5 9 = 4 
6-^-6 = 2 
6 -^9 = 5 
9 -*-9 = 8 
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