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l’autre coté, par elle-méme est (égale à) 1’ hypoténuse (multipliée) par elle- 
méme, et que cela est égal (aussi) au produit de la ligne (entìère) par cette 
panie (pris) deux fois, qui est le produit de l’un des deux cótés par l’autre 
(pris) deux fois , et au produit de l’autre partie par elle-méme , (il s’ensuit 
que) le produit de 1’ hypoténuse par elle-méme est ègal au produit de l’un 
des deux cótés par l’autre (pris) deux fois et au produit de la différence des 
deux cótés par elle-méme. Conséquemment, si on retranclie de 1’ hypoténuse 
(multipliée) par elle-méme le produit de l’un des deux cótés par l’autre (pris) 
deux fois, il reste la différence des deux cótés multipliée par elle-méme; et 
ce (carré) est rationnel, parce que sa racine est rationnelle. 
La démonstration de cela est exposée dans le second livre de l’ouvrage 
’d’ Euclide, et la répétition de ce que les anciens ont déjà expliqué dans leurs 
ouvrages serait une rédondance vide de sens. 
OBSERVATION. 
Si l’on a 
1 ) , 
il s’ensuit immédiateraent 
2) ’ìxy — [x-hy]^ , 3] — %xy—{x — yy . 
En remplacant dans l’équation 2) x par a, y par b, et dans l’équation 3) x par a-+-b, y 
par a, dono x — y par b, on aura 
4) 4 - 2 ffl 6 = (a-t- Sj [a + b)^ = ^a -\-b)a-i~ b^ 
ce qui est la traduction en formules algébriques des énoncés des propositions 4.® et 7,® du 
II.® livre des Éléments d’Euclide. 
18. 
Ceci est aussi 1’ artifice le plus convenable pour (résoudre le problème 
de trouver) une quantité qui a une racine, et telle que, si l’on y ajoute un 
nombre connu, la somme a une racine, et que si l’on en retranche exacte- 
ment le'méme nombre, le reste a une racine. 
C’est encore (une propriété) inhérente aux triangles premiers que, pour 
tous ces nombres qui résultent comme sommes après l’addition , et corame 
restes après la soustraction, et qui ont des racines, le cinq ne se présente 
(comme premier chiffre à droite) dans aucune de leurs racines , et à cause 
de cela tous (ces nombres) out nécessairement (pour premier chiffre) l’unité 
ou le neuf, et le cinq ne s’y trouve (comme premier chiffre) point du tout. 
