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mule sera 
si est la formule du triangle primitif. Or, nous avons vu que Tauteur a trouvé 
antérieurement pour les deux cathètes a; et y les expressions [a-^-b)[a — b) et et il 
yient de donner pour le noiubre congruent l’expression ’ìxy par rapport aux triangles pri- 
niilifs; il s’ensuit dono qu’ il est en possession de 1’ expression suivante des nombres con- 
gruents 
— iab[a ■+■ b)[a — b) 
qui est la plus générale possible, 
Od remarquera sortout que le problème des nombres congruents n’est par placé ici 
seulement par accident, ou cornine un siraple corollaire de la tbéorie des triangles rectan- 
gles eu nombres rationnels. D’ailleurs nous verrons l’auteur du traité dont on trouvera plus 
loin la traduction, Aboù Dja’far Mobammed Ben Albocaìn, dire en propres termes que le but 
Principal et essentiel de la tbéorie des triangles rectangles rationnels est la résolution du 
problème des nombres congruents , ce qui prouve assez que les Arabes avaient reconnu 
tonte l’iraportance de ce problème. 
La tendance à dresser des tables des Solutions de problèmes ìndéterminés , lendance 
dont nous trouverons d’ autres exemples dans le traité d’Aboù Dja’far Mobammed Ben Al- 
hocain qui contient une table des Solutions de l’équation x^-\-y^=z, et des tables de cer- 
taines Solutions de l’équation x^-^y^ = z^- cette tendance dis-je me parali mériter d’étre 
signalée corame caractéristiqne pour les mathématiciens arabes. Une autre particularité re- 
marquable qui doit, dans le présent traité, fixer Tattention des historiens des mathématiques, 
ce sont les essais faits par l’auteur de découvrir pour les nombres qui satisfont à certaines 
conditionsd’analyseindéterminée, des caractèresqui consistent au fondàénoncer que ces nombres 
doiventétre de Ielle forme par rapport à tei module, caractères qui formenl la base de la tbéorie 
moderne des nombres. C’est ainsi que nous l’avons vu énoncer ci-dessus que les hypoténuses des 
triangles rectangles primitifs sont toujours de la forme 1 ou que, lorsqu’ il 
s’agit de décomposer un nombre donné lOm-nr en deux carrés lOm'-t-r' et 10wì"-i-r", 
r' et r'' ne peuvent avoir, à deux exceptions près, qu’une ou deux valeurs déterminées. C’est 
ainsi qu’il énonce dans le présent numéro que les carrés et des équations 1) et 2) ci 
dessus, ne sont jaraais que de la forme lOm-i-1 ou lOm 9, lorsque la solution des équa- 
tions 1) et 2 ) est fournie par des triangles rectangles primitifs (ou, corame dit l’auteur, par 
des triangles rectangles « premiers », (awàil). 
Pour démontrer cette proprieté des carrés w* et v^, rappelons que l’auteur a trouvé 
(voir observat. 17.) 
u^—z^--^-'ìxy = {x-hy]^, — %xy = [x — y]^ , 
et que nous avons vu^ci dessus (observation 3.) que 
d’où 
a; = (n -+-a -t-1)^ — (n — «)^ , 
u = X -\-y— [^n — 2(n — , 
y = 2(n -f- a + 1) (« — a) 
V = X — y = (2a4-]]» — 2(« — «)2 , 
