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Cès expressioDS montrent en premier lieu que m et « sónt des nombres irapairs, de sorte 
que leurs carrés ne peuvent étre que de l’uné des formes lOm 1, lOm-t- 5, lOm-f-9; il 
s’ agit de prouver que la forme lOm 5 ne peut pas avoir lieu. En effet , si et 
étaient de la forme lOw S, c’est à dire divisibles par b,u et v devraient également étre 
divisibles par S. Mais m et u sont de la forme où ne peut étre par rapport au 
module 6 que de l’une des formes 
Sm , Sm -f- 1 , Sm -I- 4 
et par conséquent ’ìg^ d’une des formes 
S m , S m -i- 2 , S m 3 ; 
il suit de là que — 2^^ ne peut étre divisìble par S que lorsque f et g , c’ est à dire 
2n-4-l et n — «, ou 2«4-l et n — a le sont simultanément. Or si 2w -h 1 ou 2a h- 1 
étaient divisibles par Sen méme temps que n — a, (2n-»-l) — (n — a) ou (2a-(- 1)-h (n — a) 
c’est à dire w 4- « -)- 1 le serait également; donc w-t-a-t-1 et n — a auraient un facteur 
commun, et, ainsi qu’on l’a vu ci-dessus (observations 3.), le triangle rectangle formé au 
moyen des nombre 1 et n — «, ne serait pas primitif, ce qui est contraire à l’by- 
potbèse. 
19. 
Nous avons inscrit dans le tableau qui se trouve à la suite de cotte dis- 
sertation, les nombres impairs au moyen des parties desquels on formes ces 
triangles, et les parties dans lesquelles on divise ces nombres, (en mention- 
nant) celles de ces parties qu’on emploie, et celles qu’on laisse de coté à cause 
de l’existence de facteurs communs, comme nous 1’ avons expliqué; (nous y 
avons inscrit en outre) les cótés qui sont engendrés au moyen de ces (parties); 
les hypoténuses qui sont les souches de chacune des espèces; ces hypoténuses 
multipliées par elles-mérnes; ce qui résulte de la multiplication de l’un des 
deux cótés (comprenant l’angle droit) de chacun des triangles par l’autre (pris) 
deux fois; ce qui résulte lorsque ce (produit) est ajouté à l’hypoténuse mul- 
tipliée par elle-méme, et la racine de cela; et ce qui résulte de la soustra- 
ction du méme (produit) de l’hypoténuse multipliée par elle-méme, et la ra- 
cine de cela. Nous avons proposé ces (quantités) pour les hypoténuses dont 
la première est cinq, et la dernière deux cent cinq, afin que celui qui exa- 
mine (ce tableau) les ait visiblement sous les yeux, et qu’il puisse y prendre 
faoilement ce dont il a besoin en fait de ces (choses), si telle est la volonté 
de Dieu. 
‘,y. 
