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La septième colonne est celle qui contieni les norabres congruents. En appellant noni- 
bres congruents primitifs les nombres congruents débarrassés de tous leurs facteurs quadra- 
tiques, on trouve que la table de l’auteur arabe contieni les nombres congruents primitifs 
suivants : 
5 
34 
210 
429 
2730 
6 
65 
221 
546 
3570 
14 
70 
231 
1155 
4290 
15 
110 
286 
1254 
5610 
21 
154 
330 
1785 
7854 
30 
190 
390 
1995 
10374 
Cette table fournit donc en 34 lignes 30 nombres congruents primitifs, tandis que la 
table de Cessali (Origine etc. dell’ algebra, Tome I , pag. 126) en 29 lignes n en fournit 
que 12, qui soni tous contenus parmi ceux ci-dessus, à savoir : 
S, 6, 14, IS, 21, 30, 70, 210, 231, 330, 390, 546. 
La table de Fra Luca Pacioli (Simma de Arithmetica etc. Toscolano. 1523, fol. Disi. 
2.* Traci. 6'^“* fol. 46. v.°ì contieni 52 nombres congruents qui n’en fournissent que 14 de 
primitifs, à savoir: 
5, 6, 14, 15, 21, 30, 65, 70, 154, 210, 231, 330, 390, 546. 
L’ auteur arabe a obtenu cet avantage en excluant les combinaisons où a et 6 au- 
raient eu un diviseur commun. Cependant il a été loin de tirer des triangles rectangles en 
nombres entiers que contieni sa table, tous les nombres congruents qu ils auraient pu lui 
fournir. C’est ce que prouveront, je pense, les considérations suivantes. 
En divisant par un méme carré q^' les deux équations fondamentales du problème 
s^-\- k — k=v^ 
on obtient deux nouvelles équations de la méme forme que les premières. Il suit de là qu’en 
supprimant dans un norabre congruent un facteur quadratique, on obtient de nouveau un 
nombre congruent. Les nombres congruents du tableau dressé par l’auteur arabe soni, cornme 
on vieni de le voir, de la forme kab(a^ — b^); on peut donc sopprimer le facteur 4. Les 
équations du problème deviennent en ce cas 
/a^-+-b^Y i., 1 !,■> (a^^'ìab — b"^\^ 
(-j— j — ) • 
et le nombre congruent sera de la forme 
I) ab(a^ — b^). 
Or, les colonnes 3®, 4® et 5® du tableau de l’auteur arabe nous fournissent des nombres qui 
satisfont à l’équation 
-+-y^ = z^ 
où 
X = [n a — (n — et)*, ?/ = 2(n + a-l- 1)(« — «) , Z= («-l-a +1)^ -f- (« — Ci)^. 
