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9) (3/ “f* 2/ 2z)’' — 22^=|^(w-f-a-(-l W — al^ -J-2(W+a-l-l — 2 (w — 
Faisant pareillement a=x — y=^z, h — z on obtient les nombres congruents 
10) (a; — «/— 2z)^ — 2z^=|^(w-haH-l -f. n — «)^4-2 {w — «)^J — 2 j^(n 1)^ -f- (w — a)*J 
11) {x — «/ -H 2z)2 — 2z 2 =j^n-*“aH-l — n — «)^-i-2(w+a-t-l)^ J — 2 |^(W-t-a4-l)2+(n — a)^ 
La forme 3. de laquelle on vieni de déduire les fòrmes qui précèdent, mentre aussi 
imraédiatement que, toutes les fois que x-\-y est un nombre carré, x — y est un nombre 
congruent, et réciproquement. La table de l’auteur arabe, où les quantités x-^-y ti x~y 
se trouvent dans la 8.® et la 9.® colonne fournit de cette manière les nombres congruents 
7 , 23 , 31 , 41 , 72 , 239 , 257 . 
Ces nombres résultent des quatre formes que l’on vieni d’obtenir, si l’on prend les valeurs 
de X, y, z dans les triangles rectangles 1, 0, 1 ; 3, 4, 5; 5, 12, 13. Les mémes nombres 
soni aussi compris dans la forme 8. seule ainsi qu’on le voit aisément en prenant 
a-i-l = 0, 3, 1, 2, 2, 1, 3 
( n—cc = l , 2 , 2 , 1 , — 1 , — 2 , 2 
et ils soni aussi compris dans la forme 9 seule, attendu qué si on remplace w-t-a-t-1 et 
n — «par n — « et — (w-t-a + l) ou par — (n — a) et (wn-a-f-1), l’expression 8. se cbange 
dans l’expression 9, et l’expression 9 dans l’expression 8; enfin ces nombres soni pareille- 
ment compris dans chacune des formes 10 et 11. 
On a vu ci-dessus (pag. 253) que les expressions x + y et x — y soni les racines u 
et V des deux carrés qui satisfont aux équations fondamentales du problème des nombres 
congruents 
s’’ -ì-k=u^ , k = . 
Il suit maintenant de ce qui précède, que parmi les valeurs de w et de u soni compris les 
nombres congruents contenus dans les formes 8. 9. 10. et 11. 
On reconnaìt aussi que les valeurs de la racine u=x+y se retrouvent toutes parmi 
les valeurs de la racine v = x — y, car on a 
u={a+ bf — , v' = (a' — Vr — 
et faisant 
a' = — 26 , 6' = 2a — b 
on aura 
V’ —M , 
Or, 5« — 26 et 2a — 6 soni premiers entre eux; car, si 
5a — 26 = ps et 2« — b — qs , 
