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ADDITION AUX OBSERVATIONS 8 et 9. 
Les règles de Pythagore et de Platon pour trouver des triangles rectangles en nom- 
bres entiers étant en quelque sorte les premiers pas qu’on alt faits dans la théorie des nom- 
bres, il n’est peut-étre pas entièrement sans intérét, de dire ici un mot de la manière d’ar- 
river à ces règles qui paraìt étre la plus naturelle, et par conséquent celle qui a conduit 
les deux célèbres philosophes à cette découverte. 
Ètant proposée l’équation 
1 ) = , 
on en tire immédiatement 
a;M = (z+y)(z — y) , 
et égalant les facleurs séparément 
z^y= , z—y=l , 
on a 
x ^ — 1 x ^ x ^ — 1 . 
afin de rendre ces valeurs de «/ et z entières, on prendra naturellement pour a? un nombre 
impair - 1 - 1, de sorte que l’on aura 
x — 'ìm-i-ì , y 
If—l 
2 ^ — 
et ce sont précisément les expressions énoncées par Proclus pour la règie de Pythagore. 
Quant à la règie de Platon, on tire de 1), en introduisant l’indéterminée m, 
00 
mx . -=(z-^y)(z — y) , 
et posant 
z-+-y — mx , z — v= - » 
’ ^ m 
on a 
y = 
m"— 1 
X , z = 
4- 1 
-X ; 
afin de se débarrasser des fractions on prendra naturellement pour x un nombre pair 
et l’on aura 
a? = 2m , y — m^ — 1 , z = to* + 1 
et ce sont exactement les expressions énoncées par Proclus pour la règie de Platon. 
Voici encore une autre manière très-simple et très-naturelle, mais moins élégante d’ar- 
river aux expressions de Platon. 
