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ricordieux eavers lai », qui indiquent qu Alkhodjandì était mori à l’époque où le présent 
traité fut coraposé, ou du moins où il fut copié; la copie fut collationnée avec le manuscnt 
autographe de l’auteur, ainsi que l’atteste un postscriptum qu’on lira plus loin à la fin du traité. 
Or, quoique ce postscriptum ne renfermepas de date de copie, je serais très-disposé à croire, 
que le traité d’ Aboù Dja ’far Mohammed Ben Alhocaln fut copié commela plupart des autres 
morceaux contenus dans le ms. où il se trouve, pendant l’espace de temps compris entre les 
années 969 et 972 de notre ère {comparer ci-dessus, observations 4, pag. 219, lig. 17). Mais Al- 
khodjandì ne pouvait pas étre mort en 972 et observer en 992. 11 est vrai qu’Edward Bernard 
appelle l’astronome dont il parie , Abou Mahmoùd , tandis que le ms. traduit ici porte 
Aboù Mohammed; mais cette différence ne dépend dans l’écriture arabe que de 1’ omission 
d’une seule lettre, et ne paraìt pas suffisante pour nous décider à admettre l’existance de 
deux personnages dislincts, originaires de la ville de Khodjandah en Transoxiane , à peu 
près contemporains, l’un géométre et appelé Aboù Mohammed, l’autre astronome et appelé] 
Aboù Mahmoùd. Quoi qu’il en soit, il paraìt presque certain que la démonstration de l’im- 
possibilité de l’équation = dont il est question dans notre texte, fut donnée an- 
térieurement à la fin du X.® siècle de notre ère, et il est probable que cette impossibilité 
fut connue des géomètres arabes, comme thèse, plus ou moins longtemps avant cette époque. 
Quant aux objections faites par notre auteur contre la démonstration d’ Alkhodjandì, 
il faudrait peut-étre, avant de les admettre sans restriction, connaìtre le raisonnement mème 
de ce dernier géométre. Car 1’ auteur du présent traité critique en méme temps une règie 
d’ Alkhodjandì pour trouver les triangles rectangles en nombres rationnels, quoique les con- 
sidérations qu’ il propose lui-méme sur cette matière, ne soient nullement à l’abri^ de tonte 
critique, comme nous le verrons par la suite. Il serait dono possible qu’il n’eùt pas bien 
compris le sens ou la portée des arguments proposés par Alkhodjandì relativament à l’impos- 
sibilité de l’équation -i- = z^, et que ce fùt là la cause du biàme qu’il émet. Il est tou- 
tefois assez probable qu’ Alkhodjandì n’aìt pas réussi à surmonter toutes les difficultés que la dé- 
monstration de cette impossibilité présente en effet, d’autant plus que Euler lui-méme a été 
obligé de revenir sur la démonstration qu’ il en avait donnée en premier lieu, et delacomplé- 
ter par d’ importantes considérations subsidiaires (voir Novi comment.acad. scien.imp. Pe- 
trop. Tom. Vili, 1760 et 1761, pag. 105). 
On aura remarqué que l’auteur insiste tuut particulièrement sur l’utilité et le but de 
ia formation des triangles rectangles à còtés rationnels. Ce but n’est autre que la résolu- 
tion du problème des nombres congruents , ainsi que l’ auteur le déclarera ci-après d’ une 
manière tout à fait explicite. (Gomparer ci-dessus, observations 18, pagg. 251-254), 
Voici (les théorèmes préliminaires) qu’ il faut piacer en téle (de cette 
théorie). 
Si un nombre quelconque peut étre divisé en deux parlies telles que Vex- 
cédant de son carré sur le carré de l'une de ses deux parties soit un carré , 
le carré de ce [nombre) peut étre divisé en deux carrés. 
