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Supposons que AB soit (ce) nombre quelconque, parta- 
^ ^ ® ^ geons-le au point C en deux parties, posons le nombre 
E E (égai à) 1’ excédant du carré du nombre AB sur le 
carré de l’une de ses deux parties, laquelle soit GB, et 
prolongeons AB jusqu’ à ce que BD soit égal a GB; alors le produit de AD 
par AG, qui est E, avec le carré de GB est égal au carré de AB, en vertu 
de ce qui est démontré dans la sixième proposition du deuxième Livre du 
Traité des Éléments. Gonséquemment, si E est un carré, [le carré de] AB 
est partagé en deux carrés. 
OBSERVATIONS. 
Cette démonstration est inutile, la proposition étant évidente d’elle-mérae; car elle dit 
seuleraent que, si a"" — b'' = c^, on a aussi a^ = V La citation est exacte. 
Toiites les fois qu un nombre impair est divisible en deux nomhres car- 
rés, c’esl à dire en deux parties dont on puisse extraire la racine, son carré 
est divisible en deux nombres carrés. 
E A DCB Supposons que AB soit un nombre impair qui est di- 
visé, au point G, en deux nombres carrés, et coupons 
GD égal à GB. Je dis que 1’ excédant du carré de AB sur le carré de AD 
est un nombre carré. 
Démonstration. Si nous prolongeons AB jusqu’ à ce que AE soit égal à 
AD, AD sera à DG comme ED à DB, et componendo AG à DG cornme F]B 
à DB. Or, AG est à DG comme un nombre carré à un nombre carré, donc 
EB à DB comme un nombre carré à un nombre carré. Gonséquemment (EB 
et DB) sont deux (nombres) plans semblables en vertu de ce qui est démon- 
tré dans la vingt quatrième proposition du huitiérne Livre du Traité des Elé- 
ments. Le produit de l’un d’eux par l’autre est donc un nombre carré. Mais 
le produit da EB par DB est l’excédant du carré de AB sur le carré de AD. 
Par conséquent l’excédant du carré de AB sur le carré de AD est un nom- 
bre carré. 
Le carré de AB est donc divisé, au point D, en deux nombres carrés. 
A cause de cela , si 1’ on considère AB comme 1’ hypoténuse (sous-tendant) 
l’angle droit d’un triangle, AD qui est la différence entre les deux nombres 
carrés, sera l’un des deux cótés (de l’angle droit). Je veux dire (que .AD est) 
