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OBSERVATIONS. 
L’auteur énoiice ici le théorème que les triangles rectangles qui ont pour hypoténuse. 
un nombre pair, ne soni pas primitifs. En effet soit 
-t- J/2 = 22 
et supposons que z soit pair. Il faudra que a; et </ soient à la fois inipairs ou pairs. Si x 
et y étaient en ménte temps irapairs, la somme de leurs carrés serait de la forme 
qui ne peut pas étre égale à un carré. Conséquemment, si z est pair, x el y le sont né- 
cessairement aussi, les trois còtes ont 2 pour commun diviseur, donc le triangle n’est pas 
primitif. C’est ce qu’on volt mieux encore pas la considération salvante. Il suitdu théorème 
énoncé par Gauss dans la note au bas de la page 218 des Disquisitiones aritìmeticae, que 
le nombre des décompositions en deux carrés d’un nombre 2.>“ N est indépendant de l’ex- 
posant f-t., donc que 2.“ N n’est décomposable en deux carrés qu’ autant que l’est N. Soit 
donc N 6^. On peut éviderament faire abstraction des puissances paires de 2 con- 
lenues dans de sorte qu’ il suffit de considérer le nombre %{a^-\-b^) pour comprendre 
tous les cas où un nombre pair est décomposable en deux carrés. Or on a 
2(a^-i-F) = f«-f- (a — 6)^ , 
et formant un triangle rectangle avec les nombres a-\- b et a — è, on obtient 
[a-^b]^ -i- {a — bf = 2 (<t^ -t- b^) 
{a -+• 6)2 — {a — 6)2 = 2 ( 2 <t 6 ) 
2 (a -H b){a — 6 ) -= — 6 ^) 
c’est à dire un triangle dont les cótés sont doubles de deux du triangle rectangle formé 
avec les nombres a et 6. Dans le cas que l’auteur a choisi pour exemple, on a a=% 6=1. 
Quant aux mots depuis «attendu que tout nombre pair»jusqu’à « et l’autre un nombre 
dont ou peut extraire la racine », ils renferment une assertion complètement fausse. Car les 
nombres pairs 34, S8, 90, 74, 106, 130 et une infinité d’autres sont respectivement égaux 
aux sommes de deux carrés 3^-4-5^, 3 ^-+- 72 , 3^-f-9^, 5^4-7*, 5 ^-h 9^, 7^4-9'’', etc., et cepen- 
dant 34 — 1, 58 — 1, 90—1, 74 — 1, 106 — 1, 130 — 1 ne sont pas des nombres carrés. 
Nous avons trouvé la méthode pour conoaitre les hypoténuses des triangles 
rectangles à cótés rationnels; (elle consiste en ce) que nous exaininons un à 
un les impairs se suivant à partir de Punite d’après Pordre naturel , et que 
nous en employons (ceux) qui se divisent en deux carrés. Nous avons fait 
cela , et nous avons consigné (les nombres) qu’on emploie , dans une table 
dont Pordre et l’arrangement exigent (cependant) que nous (y) consignions aussi, 
en méme temps que les (impairs), les pairs qui se divisent en deux carrés. 
Quant à la formation de la table, elle est divisée en douze lignes suivant la 
lavgeur, et en dix lignes suivant la longueur. 
