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La différence de deux nombres contigus d’une mérae colonne verticale sera 
-4- (p -f- 5- -4- 1)2 — ^2 _ fp_+_ g)2 — , 
et la différence suivante 
{p %y- -i- {p q ■+■ 2)^ — (p->r\y — (p -H = 4jo 4 - 2g' -h6 , 
de sorte que les différences denxièmes sont constantes et égales à 4. 
La différence de deux nombres contigus d’une méme colonne horizontale est 
4- (p + 5'4- 1)^ — — (p -f- 5')^ = 2p -4- 2^ -f- 1 , 
et la différence suivante 
p^ -4- (p 4 - 5 ^ + 2)'^ — p^ — (p 1)2 =2p 4 - 25 - 4 - 3 , 
donc les deuxièmes différences sont pareillement constantes et égales à 2. 
L’idée de l’auleur de se servir du tableau, construit comme on vientde levoir, pour 
trouver les nombres décomposables en deux carrés, offre certains avantages, notamment ce- 
lili que le tableau contient tous ces nombres et n’en contieni pas d’autres; en outre, si un 
nombre est décomposable en deux carrés de plusieurs manières, chacune de ces décompo- 
sitions est donnée séparément par le tableau; enfin le tableau fait connaìtre immédiatement 
les deux carrés qiii correspondent à une décomposition, l’un de ces carrés se trouvant dans 
la colonne des carrés sur la méme colonne horizontale que le nombre qu’il s’agit de décom- 
poser, et l’autre carré étant la différence de ce nombre et du premier carré. Mais la table 
a r inconvénient de ne pas donner les nombres qui sont les sommes de deux carrés, suivant 
l’ordre de leur grandeur, de sorte que, pour peu que le nombre proposé soit grand, la re- 
cherche devient assez longue parce quelle doit s’étendre sur un nombre considérable de 
colonnes. En outre, si on veut se servir du tableau pour en tirer les triangles rectangles 
primitifs, il offre encore l’inconvénient de ne pas exclure immédiatement les décompositions 
où a et 6 ont un facteur coramun. Toutefois la manière doni le tableau estdressé, 
présente un moyen facile pour se débarrasser de ces décompositions. C’est de sopprimer, à 
partir de la 3.® colonne verticale, dans chacun d’elles, soit dans la tous les nombres doni 
le rang, dans cette colonne, s’ exprime par les facteurs premiers de q et par les multiples 
de ces facteurs. 
En effet, soit un nombre N=« 24 -è 2 ; on en tirerà le triangle rectangle ,a'^—b\ 
%ab. Si ce triangle n’est pas primitif, les trois eótes auront un facteur commun s, donc 
-t- b^ ~ xs , — b^^ [tS , %ab = vS ; 
les deux preraières équations donnent 
= , 26^= (X — fA's , 
d’ où il suit que , si les trois còtés ont un facteur commun autre que 2, ce facteur (ou sa 
moitié) sera aussi facteur commun de et de b'^. Conséquemment, pour éliminer les trian- 
gles non primitifs, il est nécessaire et sufBsant de sopprimer premièrement leshypoténuses 
paires (ce que l’auteur a fait en supprimant les colonnes verticales de rang pair, ou en ne 
les introduisant que pour le besoin de la construction de la table), secondement de soppri- 
mer toutes les décompositions p^-\-{p + qy où p et , ou ce qui revient au méme. 
