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où p et q auront un facteur coniniun. Il faut dono supprinier dans la colonne verticale de 
rang q tous les nombres doni la rang dans la colonne s’expriine par un facteur premier de 
q, ou par un multiplie d’ un facteur premier de q. Ainsi on effacera dans la 3.® colonne 
le 3.®, b.®, 9.®, nombre etc. ; dans la S.® colonne, le 5.® 10.®, IS.® nombre etc., dans 
la 15.® colonne, le 3.®, 6.®, 9.®, 12.®, 15.® 18.® etc,, puis le 5.®, 10.®, 20.®, 25.® etc. Lors- 
que cette opération, qui ressemble au procédé d’Ératosthène pour trouver les nombres pre- 
miers est terminée, toutes les décompositions qui restent dans le tableau, ne donnent lieu 
qu’à des triangles rectangles primitifs. 
Gauss a donné, àms>\es Bisqiiisitiones ArWmeticae, le nombre des décompositions d’un 
nombre en deux carrés premiers entre eux. Cependant cette question (ainsi que le comporte 
le pian des Disquisitiones) n’y est pas traitée isolément , mais de manière à se rattacher 
aux parties précédentes de l’ouvrage. Gomme les présentes recherches ne s’ adressent pas 
seulement à des géomètres de profession, mais aussi à d’autres érudits qui tout en désirant 
se rendre compie du fond des problèmes historiques discutés ici, pourraient trover pénible 
de remontrer de proposition en proposition renchaìnement des théories de l’admirable corps 
de doctrine de Gauss, j’ai cru utile d’exposer en cet endroit , en me fondant sur des con- 
sidérations et des démonstrations exclusivement élémenlaires, de quelle manière la décom- 
position d’ un nombre en deux carrés premiers ou non premiers entre eux , dépend de la 
nature des facteurs premiers doni le nombre est composé. .l’appellerai, pour abréger , dé- 
composition primitive une décomposition en deux carrés premiers entre enx. .le n’aurai égard 
qu’aux décompositions réellement distinctes, et je ne compierai pas non plus les décompo- 
sitions où l’un des deux carrés est zèro. 
1. Si un nombre nest composé que de facteurs premiers de la forme 4m-t-l et tous 
différents, il n’admet que des décompositions primitives. Car si les deux carrés d’une décompo- 
sition avaient un facteur commun, il devrait étre quadratique, donc le nombre donné aurait 
un facteur quadratique, ce qui est contraire à l’bypothèse. 
2. Si un nombre est composé, outre de puissances quelconques de nombres premiers 
de la forme im-i-\, aussi de puissances paires d'unou de plusieurs nombres premiers de la forme 
im-i- 3, ce nombre n'admet eque des décompositions non primitives, parce que les puissan- 
ces paires des facteurs de la forme 4m-+-3 ne soni pas décomposables en deux carrés. 
3. Une puissance quelconque d’un nombre premier de la forme , admet tou- 
jours une décomposition primitive, et nen admet quune. 
En effet, p étant un nombre premier de la forme donc p = a^-+-b 2 , où a et 
b premiers entre eux, si p * et jouissent de la propriété que je viens d’énoncer, 
en jouira également. 
Car soit -t- la décomposition primitive de p >-*-\ de sorte que 
(a’’ -4-|3^)(a^ -+■ b^‘) — {ao!. -f- 6(3)2 -j_(aj3 — bet)^— («et — 6(3)^-t-(a^-f-6a)* 
et supposons que ces deux décompositions de soient non primitives , donc , en dési- 
gnant le plus grand commnn diviseur des deux carrés de la première et de la seconde dé- 
composition respectivement par s et s', 
ao. -i- b^ — Is , fla — b^ — rS' 
a|3 — bcc = mS , a^-hb<x — sS' 
