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d’où 
a(a*-t- 62) =[al—bm]s , a{a^ -4- b^} = (ar ■+■ bs)B' 
3(«2-l_ b^) =[bl + am)B , | 3 (a^ -f- = {as — br)B' . 
Mais « et |3 étant premiers entre eux, et -+- è* premier, il suit de ces équations 
dono 
S = 5' == 
iA. = al — bm = ar bs 
et 
^ — bl + am — as — br 
i = {a^ -4- = (a^' -+■ b‘^)[r 4- m^) = (a* •+• b^)[r'^ 
de sorte que (a* 6^)" admettrait les deux décompositions primitives P 4- et , 
ce qui est contraire à l’hypothèse. I! faut donc que l’une au moins des deux décompositions 
de dévoloppées ci-dessus soit primitive. 
Il reste encore à démontrer qu’elles ne peuvent pas étre primitives toutes les deux. 
Or, soit l’unique décomposition primitive de p'*, «2-i-S^ l’unique décomposition pri- 
mitive de p”-^*; et supposons que p"-^* admette deux décompositions primitives. Évidemment 
celles-ci ne peuvent provenir que de la combinaison 4- (3a avec a* 4- 62 , car les autres 
décompositions de p’»'^*, toutes non primitives , ne sauraient engendrer une décomposition 
primitive. Pour la méme raison les deux mémes décompositions primitives de p'*'^2 
vraient étre celles qu’on obtient par la combinaison de 72-^52 avec [a^—b^)^-\-(^ab) 3 -. Ainsi 
il faudrait que les deux décompositions 
(ffiot-i- ft|3j2 4-{a|3 — , [aa . — 63)* -1- (aP 4- èa)2 
fussent identiquement les mémes que 
([«2 — 62]y-H 2 aè 5 )^ -H ([«2 — &*]s — <ìaby)^ , ([«^ — b^]y — abs)^ 4- {[a^ — 62]$ 4- <ìaby)^ . 
Cependant pour que deux décompositions 
-H 
d’un nombre soient identiques à deux autres décompositions du méme nombre 
g^i -4- t , -4- k^i 
il faut qu’un des huit systèmes suivants puisse avoir lieu 
1) 
Mi > 
h — hi y 
Il 
M 
k — k\ , 
S) 
h=‘ki , 
i=9i > 
M 
II 
2) 
Mi . 
m 
11 
i — ki , 
k=ii , 
6) 
9=ii , 
k=ki , 
M 
II 
k=g^ . 
3) 
g=hi , 
h=gt , 
i=ii , 
k=ki , 
7) 
g=ki , 
A=ti , 
i=9i . 
k=h, . 
4) 
9—ki , 
k=gi , 
k==ii , 
8) 
M 
II 
A=*i , 
»=Ax , 
k=^gi . 
