- 314 — 
4. De la démonstration précédante on conclut en raéme teraps le nombre total des 
décompositions tant primitives que non primitives d’une puissance donnée de p , soit p.^ 
Car chaque puissance de p n’admenttant qu’une seule décomposition primitive, il est facile 
de voir quelles sout les décompositions non primitives de Évidemment on les obtien- 
dra toutes en multipliant par p* les deux carrés de la décomposition primitive de p^-^, par 
p4, les deux carrés de la décomposition primitive de pM, et ainsi de suite; de sorte que 
p^ admet, outre sa décomposition primitive, ^ ^ décompositions non primitives si x est im- 
pair, et 
2 
si X est pair. Par conséquent le nombre total des décompositions de p^ est 
X ~t~ 1 . . . X . 
— - — SI X est impair, et - si x est pair. 
Soit raaintenant p^ multiplié par la puissance p^i d’ un autre nombre premier de la 
forme Attendo que le produit de deux sommes de deux carrés donne lieu à deux 
décompositions en deux carrés, et que, si l’une des deux puissances est paire, il faut avoir 
égard aux décompositions qui résultenl de la multiplication de cette puissance méme , qui 
est un carré , par toutes les décompositions de l’autre puissance , le nombre total des dé- 
corapositions du produit p^. p/^i sera 
X t- 1 
:-(X 
2 
l)(/*4-l) si X et j!* sont impairs. 
2 . 
2 . 
2 . 
X -+- 1 p 
2 ” ■ 2 ' 
X H- 1 
2 ■ 2 
2 • 2 2 
X-)-l 1 
-(x-i-1)(/a 4-1) si X est impair et p- pair, 
^ 1. l 
— =■ r (x+1)(/x-h 1) si X est pair et impair, 
A 2k 
/A 1 1 
. ^ - (X -H 1) — _ si X et f* sont pairs. 
Et par les mémes considérations on voit que le nombre total des décompositions du nom- 
bre p.^pi^. p^a . . . . , où p, pi, P 2 , sont des nombres premiers de la forme 
1 
est - (X H-l)(/x-»-1)(v-i-l) .... excepté lorsque p., v, ... . sont tous pairs, 
2 
1 1 
et que dans ce dernier cas le nombre des décompositions est -(x-HlKjn — -. 
2 2 
5 . Soient T et U deux nombres premiers ou non, mais premiers entre eux et ad- 
mettant chacun une ou plusieurs décompositions primitives, de sorte que 
T=A"-t-B", U = C^-l-D* 
où A et B, C et D premiers entre eux. On aura 
TU = (AC -+- BD)* + (AD — BC):» = (AC - BD)* -+- (AD -1- BC)" 
