OBSERVATJONS. 
En prenant les nombres contenus dans le tableau, suìTant l’ordre de leur grandeiir , 
alia de les décomposer un à un en deux carrés par les moyens que le tableau offre pour 
cette opération, l’auteur s’apercoit qu’entre deux nombres successifs sont compris alterna- 
tivement un et trois nombres impairs. Mais méconnaissant lavéritable loi de cette propriété, 
à savoir qu’elle est invariable et continue a avoir lieu de la méme manière jusqu’à Tinlini 
l’auteur se fourvoie , et arrivò au nombre 113 , au lieu de passer de là à 121 en sautant 
trois impairs, croit voir dans le nombre 117 le commencement d’ une nouvelle sèrie sem- 
blable à celle qu’il vient de considérer,et qui s’étend depuis 5 jusqu’à 113. La nouvelle sè- 
rie serait donc 117, 125, 129, 137, 151, 149, 153, 161, 165, 173. etc., au lieu de 121 , 
125, 133, 137, 145, 149, 157, 161, 169, 173, etc., et ne renfermerait pas les nombres 
145, 157, 169, 181, 193, 205, etc., qui sont dècomposables en deux carrès. L’erreur de 
l’auteur est d’autant plus singulière que ces derniers nombres se trouvent eucore dans la 
partie du tableau des nombres dècomposables en deux carrès qu’ il a dressèe lui-meme, et 
que l’on a vue ci-dessus. 
L’auteur dit que la loi de la sèrie se manifeste par les nombres méme contenus dans 
le tableau, mais cette raison est insulSsante; car en procèdant comme il le fait, l’auteur 
passe le nombre 45 qui cependant figure dans le tableau. 11 est vrai que ce nombre n’est 
pas bypotènuse d’un triangle primitif mais cela n’ empécherait pas l’auteur de l’admettre, 
ainsi qu’on le volt par les dècompositions 
117= (3. 2)2+ (3. 3)2 et 125 = (5. 1)" + (5. 2)2 . 
En somme l’auteur ne paraìt pas avoir bien approfondi ce point; et si on se rappelle 
la nettetè et la justesse avec lesquelles l’auteur du fragment anonyme s’ exprime dans le 
N.“ 3 de ce fragment où il traite le méme sujet, on ne peut pas manquer d’ élre frappò du 
contraste qne ce numèro présente avec les méprises et inadvertances que l’on vient de voir 
commettre à l’auteur du présent traité. 
Mais cette circostance me serable confirmer ce que j’ai dit ci-dessus à la fin des oh- 
servations 4 (pag. 216), à savoir que le fragment anonyme fut composé probablement vers le 
milieu ou dans le troisième quart du X.® siècle de notre ère. En effet , en lisant la suite 
du présent traité on ne pourra méconnailre l’uniformité que présente en général la marche 
suivie dans l'exposé de la théorie des triangles rectangles numériques tant par l’autcur du 
fragment anonyme que par Aboù Dja’ far Mohammed Ben Alhocain , uniformité qui paraìt 
indiquer une certaine tradition d’école, un certain cadre commun qu’il était d’usage de rem- 
plir, en enrichissant d’ailleurs le sujet d’autant d’observations ou de découvertes originales 
que possible. Eu égard à ces points dé ressemblance qui doivent nous porter à admettre 
qu’il existait des rapport plus ou moins suivis entre les savants qui cultivaient les mathé- 
matiques en Orient, il est peu vraisemblable que, un des points principaux de la théorie 
en question, tei que la sèrie qui contieni les hypoténuses des triangles rectangles primitifs, 
ayant été une fois nettement énoncé et défini, on ait pu longtemps après tomber encore 
dans des incertitudes et des erreurs au sujet de ce méme point. Or, on a vu qu’il y a quel- 
que raison de croire que le présent traité fut écrit dans la dernière moitié du X.® siècle ; 
