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[%m 4- 1]2 H- 1)]^ = [m2 4- (m-f- IfY 
forraé all moyen des nombres m et m-i-1, est toujours primitif. Ou voit aussi queleplus 
petit coté prend successivement pour valeurs tous les nombres impairs, pendant que 
m prend pous valeurs tous les nombres entiers. Quant aux trois manières de trouver l’hy- 
poténuse, el est évident que 
1) m2-i-(w4-l)2= K|[2m4-l]2 4-[2m(m-i-l)]2^ 
wi2 4-(m-)-l)^ = [(ni_|_ 1) —mf ■+■ 2ot(w-i- 1) 
3) m'^-H(m4-l)2=2m2 4-(2m4-l). 
La proposition à laquelte l’auteur fait allusion, est le 3.® de ses théorèmes préliminaires 
(voir ci-dessus, pag. 30S, lig. 18 à”dernière). 
(Etant proposés les trois nombres) 1, 2, 3; si l’on en multiplie le pre- 
mier par le troisième, il résulte l’un des deux cótés (comprenant l’angle droit) 
du premier triangle ; et si on additìonne (les mémes deux nombres) 1’ un à 
l’autre, il résulte l’autre coté. Il existe dono une troisième méthode de trou- 
ver ce triangle. Et cornine il est indifférent que l’on additionne les deux (nom- 
bres) extrémes, ou que l’on multiplie le (nombre) moyen par deux; attendu 
que le moyen de trois nombres consécutifs quelconques est la moitic (de la 
somme) des deux extrémes: le produit de 2 par deux est égal à la somme 
de 1, 3 qui est l’un des deux cótés (comprenant l’angle droit). 
L’opération d’après cette méthode produit des triangles à cótés ration- 
nels qui sont en partie primitifs , et en partie dérivés. Le triangle primitif 
est celui qui est produit, lorsque l’un des deux extrémes des trois (nombres) 
est pair et l’autre impair [sic], et s’ ils sont tous les deux pairs, le triangle 
qui est produit, est dérivé d’un triangle qui précède. 
Par exemple, (étant proposés), 2, 3, 4 ; si l’on multiplie le premier de 
ces (nombres) par le troisième, (le produit) est un des deux cótés (compre- 
nant l’angle droit); et si on les additionne l’un à l’autre, ou que l’on multi- 
plie 3 par deux, (le résultat) est l’autre cóté. Or, chacun de ces deux cótés 
est le doublé du cóté correspondant du triangle précédent , qui est produit 
au moyen des (nombres) 1, 2; car le trois inesure le six, et le quatre me- 
sure le huit; les cótés des deux triangles ont donc un rapport commun. 
Mais quant à 3, 4, 5; si le premier de ces (nombres) et multiplié par 
le troisième, on aura l’un des deux cótés (comprenant l’angle droit) du troi- 
sième triangle, à savoir de celui dont 1’ hypoténuse est 17 . Et si on les ad- 
