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ces deux calhètes s’expriment par 4- 2^4) , 2(2/*-+-l). Si les raoiliés 
de ces cathètes soni égales aux cathètes d’un triangle déduit des trois nombres cousécutifs 
m' — 1, m' , to' - 4-1, on aura 
to'^ — 1 = 2/4 - 4 - 1 , 2to' = 2/4(/4 -+- 1) 
d’où 
toV = 2 ; 
et, come to'>/ 4, il n’existe qu’une seule solution en nombres entiers: /4 = 1, to'= 2; c’est 
à dire que les còtés du triangle déduit des nombres 2,3,4 sont doubles des còtés du 
triangle déduit des nombres 1, 2, 3. 
Les còtés des triangles rectangles déduits des nombres 2, 3, 4; 4, 5, 6; 6, 7, 8; 8, 9, 
10; 10, 11, 12; 12, 13, 14; etc. sont doubles des còtes des triangles rectangles formés au 
moyen des nombres 1, 2; 2, 3; 3, 4; 4, S; 5, 6; 6, 7; etc. respectivement. C’est peut- 
étre ce que l’auteur a voulu dire, mais ce que, en tout cas, il n’a pas dit. 
Du reste le capiste du morceau (probablement le géomètre Abmed Ben Mohammed 
Ben Abd Aldjalìl Alsidjzi) a hésité à 1’ endroit où 1’ auteur dit que le triangle déduit des 
nombres 4, 5, 6 a les cathètes doubles de celui déduit des nombres 3, 4, 5; il a commencé 
per rayer, dans 3, 4, 5, le nombre 4; mais s’apercevant probablement que c’était une er- 
reur de l’auteur lui-méme, il n’a pas fait d’autre changement. 
Je fais observer aussi que déjà dans la phrase: « et s’ils sont tous les deux pairs, le 
triangle qui est produit, est dérivé d’un triangle qui précède», le texte porte littéralementr 
« est dérivé du triangle qui précède. » Mais l’article arabe n’ayant pas toujours la méme 
force déterminante que notre article déterminé, il y avait lieu de traduire de manière à 
ne pas faire énoncer à 1’ auteur une erreur, tant qu’ il n’ était pas évident qu’ il s’était 
trompé. 
On a vu déjà à une occasion précédente que l’auteur du présent traité est bien infé- 
rieur, comme géomètre, à l’auteur du fragment anonyme. Aussi ce n’est pas sa valeur comme 
mathématicien qui m’engage à donner la présente traduction de son écrit, mais la circon- 
stance que ce traité sert à compléter à divers égards le fragment anonyme ; qu’ il mentre, 
par l’identité des objets discutés dans les deux ouvrages quelle était la manière dont cette 
partie des mathématiques fut traitée généralement par les géomètres arabes du X.® siècle ; 
et sourtout que la théorie des nombres congruents, qui nous intéresse ici principalement , 
occupe dans le présent traité la méme place importante que dans le fragment anonyme. 
Les observations de l’auteur sur la manière de trouver l’hypoténuse to''-i- 1 du trian- 
gle rectangle déduit des trois nombres consécutifs to — 1, to, to-I- 1 sont exactes; on a en 
effet 
(to — 1)2-1- 2to=to^h-1 
[{to -1-1) — (TO — D] -H (to2 — 1) =TO^ -1- 1. 
[Conliniierà). 
