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Cette démonstration géométrique présénte d’ailleurs uu caractère qui mèri te d'étre re- 
marqué; c’est qu’elle est foodée sur des considérations de juxtaposition (*), méthode que 
les géomètres indiens seinblent avoir employée avec prédilection. Cette circonstance serait- 
elle un indice que le problèrae des nombres congruents sous la forme où nous le voyons 
traité par les Arabes, leur est venu des Indiens? On sait bien que Diopbante a résolu en 
nombres rationnels divers cas des équations simultanées x^-^y = z^, y = (voir ci 
dessus pag. 282, lig. 24) • mais il paraìt d’un autre coté que l’analyse indéterminée de Dio- 
phante n’est pas restée inconnue aux géomètres indiens et qn’elle a été développée par eux. 
Je fais observer , en outre , que la résolution arabe du problème des nombres congruents 
est intimement liée à la construction d’une figure géométrique en nombres rationnels, et que 
de semblables constructions de figures géométriques en nombres rationnels sont un des sujets les 
plus remarquables traités par Brahmagupta (Voir Colebrooke, Algebra etc. from thè sanscrit, 
London 1817 pag. 295 à 311; et Chasles, Apercu historique sur le développement des mé- 
thodes en géométrie, Bruxelles 1837, pag. 420 à 447). Je rappelle enfin que rien ne prouve 
jusq’à présent que les Arabes aient connu Diopbante antérieuremeut à la traduction qu’en 
fit Aboùl Wafà (mort en 998 de notre ère), tandis qu’on place Brabmagupta environ au mi- 
lieu du VII.® siècle, et que les Communications scientifiques des Arabes avec les Indiens re- 
montent à la second moitié du Vili.® siècle. 
Si notre but est seulement de trouver un nombre qui a une racine, (et 
tei que) si on y ajoute un certain nombre’, ce qui resulto a une tacine, et 
(que) si on en retranche le méme nombre, ce qui reste a une racine, nous 
prenons deux nombres quels qu’ ils soient , consécutifs ou non consécutifs , 
nous multiplions l’un par l’autre, nous mulliplions ensuite le produit par la 
somme des deux nombres, et nous divisons ce qui en résulte par leur diffé- 
rence. Ce qu’on obtient est le nombre ajouté et retranche. Ensuite nous mul- 
tiplions chacun des deux nombres par lui-méme, nous prenons la moitié de 
la somme des deux (produits), puis nous divisons par la difference des deux 
nombres. Ce que l’on trouve est la racine du nombre qui (est tei que) si on 
y ajoute le nombre ajouté et retranché, ce qui résulte a une racine, et (que) 
si on en retranche le méme nombre, le reste a une racine. 
il arrive quelquefois que cette opération est en défaut dans (le cas de) 
deux nombres non consécutifs. Cela (a lieu) lorsque le nombre qui résulte de 
la racine Irouvée est plus petit que le nombre ajouté et retranché. La dé- 
monstration de tout cela se trouve (comprise) dans ce que nous avons décrit. 
Nous avons donc démontré qu’au moyen de deux nombres différents quel- 
C) La citation d’Euclide est inutile; on voit par juxtaposition que 
AE-|-LM = KE + ET-f-KT = ZE-4-EC-t-KT . 
