E^li è facile il comprendere l'importanza della questione proposta, quando 
s : osservi , che alla stessa è strettamente connessa tutta la teorica delle e- 
quazioni algebriche. Conciossiachè la soluzione algebrica delle equazioni di 
terzo e quarto grado si ottiene appunto, perchè è possibile il trovare funzioni 
di tre o quattro lettere, le quali non hanno che due o tre valori diversi nel 
permutare, che si fa, in tutte le maniere possibili, le lettere fra loro. E se 
si potessero trovare funzioni di cinque lettere, che non avessero che quattro 
valori diversi, quando si permutano fra loro le lettere che esse contengono, 
sarebbe ancora possibile il risolvere , per mezzo di queste , le equazioni del 
quinto grado, le quali sarebbero così condotte a dipendere da un'altra equa- 
zione del quarto. Sommi geometri hanno trattato questo tema, e primo fra 
tulli l’immortale Lagrangia in una memoria inserita negli atti dell'accademia 
di Berlino degli anni 1770, e 1771, dimostrò questo teorema: «Il numero 
» dei valori di una funzione di m lettere è sempre un divisore del prodotto 
1 . 2. 3. i (in — 1 )m ». 
Paolo Budini poscia, nella sua teoria delle equazioni pubblicate in Bologna 
nel 1790 , trattò lo stresso problema , battendo una via indiretta , e per 
mezzo di una ingegnosa analisi dei vanii generi di permutazioni , giunse a 
dimostrare il teorema : « ina funzione di cinque lettere , se ha meno di 
» cinque valori, non ne può avere più di due ». In seguito Cauchy si ap- 
plicò i rendere generale il teorema di Budini, e prendendo le mosse da una 
nuova analisi delle permutazioni , che appellò teorica delle sostituzioni cir- 
colari, pervenne a concluderne il teorema : 
» Se una funzione di n lettere ha meno di p valori distinti, (p essendo 
» il maggior numero primo contenuto in n) non ne può avere più di due.» 
Questo teorema comprende , come caso particolare , quello di Budini , e 
come corollario l’altro: «Una funzione di n lettere, n essendo un numero 
» primo , se ha meno di n valori distinti, non ne può avere più di due », 
Cauchy ha tentato di estendere il suo teorema al caso , in cui n non sia 
numero primo ; ma, come egli confessa, non vi riusci che nel solo caso in 
cui n= 6 ; nè gli bastò all’ uopo la teorica delle sostituzioni transitive c in- 
transitive , siccome quella , che non racchiudeva la necessaria generalità. 
Quindi il sig. Bertrand, appoggiandosi alla teoria delle sostituzioni cir- 
colari di Cauchy , e partendo dal postulato : « che vi sia almeno un numero 
