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primo fra n — 2 e — • quando n é maggiore di 7 » stabilì il teorema: « Una 
» funzione di n lettere, se ha meno di n valori distinti, non ne può avere 
» più di due ». Il postulato del sig. Bertrand è stato verificato colle tavole 
dei numeri primi, per tutti i valori di n, da 7 a 6, 000, 000. E in ultimo 
il sig. Tchebicheff, in una sua memoria presentata all’accademia delle Scienze 
di Pietroburgo nel 1850, ha insegnato il modo di trovare due limiti , fra i 
quali è necessariamente compreso il numero, che esprime quanti numeri primi 
vi sono fra due numeri dati, e ne dedusse la rigorosa dimostrazione del postu- 
lato, su cui poggia il teorema del sig. Bertrand, dal numero 160 in poi. 
D’altra parte era già stata data dal sig. J. A. Serret una esatta dimos- 
trazione del teorema del sig. Bertrand, in una memoria presentata all’acca- 
demia delle scienze di Parigi nel luglio 1849 , senza presupporre alcun po- 
stulato ; ma col dedurlo dalla teoria delle funzioni simmetriche. Finalmente 
nel 1852 iJ Prof. Enrico Betti pubblicò, negli annali di scienze matematiche 
e fìsiche del sig. Tortolini, una nuova teorica delle sostituzioni, dalla quale 
dedusse con profonda analisi le condizioni di risolvibilità per radicali delle 
equazioni di grado superiore. In ultimo il sig. Emile Mathieu pubblicò nel 
1860, nel Journal del sig. Liouville , una iateressante memoria sul numero 
dei valori che che può assumere una funzione, fondata anch’essa sopra una 
analisi delle diverse specie di permutazioni. E nel fascicolo di febbrajo del 
1865 dello stesso Journal de Liouville , il sig. Despeyrous ha dimostrato il 
teorema: « Se in una funzione di m lettere, fra tutte le 1. 2. 3. ... m 
permutazioni , ve ne sono p inseparabili, per le quali la funzione non can- 
» già valore, e sia 1. 2. 3 m—pq, la proposta avrà q valori dif— 
» ferenti. E ciò ottenne partendo da considerazioni relative alla teoria dell’or- 
dine da Poinsot indicata e tracciata nelle Réflecxions sur les Principes fon- 
damentaux de la theorie des Nombres. 
L’ attento esame di tutti questi diversi metodi mi fece accorto , che la 
stessa via segnata in prima dal Ruffini, fu battuta e dal Cauchy e da quasi 
tutti gli altri, che trattarono questo problema; imperocché tutti convengono 
nel prendere le mosse da teorie speciali e ingegnosissime sulle permutazioni, 
le quali sono distinte e divise in varie classi di sostituzioni. Ma queste teorie 
mancanti della generalità richiesta dal problema, non poterono condurre i loro 
autori, che ad abbracciare una parte, per quanto ampia, pur sempre limitata, 
del problema stesso. Questa osservazione mi suggerì 1’ idea, che, cambiando 
