Olire tuttociò, che si è detto nei due problemi antecedenti, e che vale 
anche per questo, egli é chiaro, che fra tutte le permutazioni vi sono ancor 
quelle, che permuteranno una funzione omologa nell’altra senza alterare il 
valore del prodotto; ma queste permutazioni sono In numero di 
1 . 2 . 3 . 4 2 , 
dove 2 esprime il numero delle funzioni omologhe; dunque in questo caso il 
numero dei valori distinti sarà dato dalla formola: 
m[m — 1 )(m — 2) 4. 3. 2. 1. 
M. N. P T (1. 2. 3 z) ' 
Divisione. Come il ragionamento usato nella soluzione del Prob. VI servì 
ancora a trovare la soluzione del problema VIS, senza essere modificato in 
alcuna delle sue parti: si vedrà facilmente che serve altresì a trovare il nu- 
mero dei valori distinti del prodotto di più funzioni algebriche razionali ed 
intere, diviso pel prodotto di più altre funzioni di simil fatta. E rimane con 
ciò stabilto il teorema generale, che dà ii numero dei valori delle funzioni 
algebriche razionali intere e frazionarie, a lettere non ripetute, e cioè 
Teorema. Il numero dei valori diversi di un prodotto di più funzioni al- 
gebriche razionali, ed intere, a lettere non ripetute, diviso pel prodotto di più 
altre funzioni della stessa specie : è uguale al prodotto dei numeri naturali 
da 1 fino ad m (essendo m il numero totale delle lettere contenute) diviso 
pel prodotto dei numeri che esprimono il numero dei valori uguali di cia- 
scuna funzione data, considerata separatamente, ossia uguale a 
m(m —l)(m — 2) 4. 3. 2. 1 
” W. N. P T ’ 
se non vi sono funzioni omologhe; che se invece vi fossero u funzioni omo- 
lologhe nel numeratore, e v funzioni pure omologhe nel denominatore, allora 
il numero dei valori diversi della frazione algebrica razionale è dato dalla 
formola: 
m(m — 1 )(m — 2 )(m — 3) . , 5. 3. 2. 1 
M. N. P T (1. 2. 3. . . . 7<)(i. 2. 3. . . . v) ^ ' 
{*) Queste funzioni son quelle che sono stale dette funzioni transitive multiple e sa- 
rebbe facile il dimostrare come la definizione che si potrebbe ricavare da questa analisi sia 
generalissima. 
