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Veniamo ora a calcolare il numero dei vaio ri del secondo termine:e 
poniamo, per fissare le idee, che esso contenga n' lettere: siccome, per ipo- 
tesi, esso contiene un certo numero di lettere, che fanno già parte del primo 
termine, siano queste lettere in numero di n\: e sia n' 2 il numero delle let- 
tere del termine secondo, le quali sono tutte diverse da quelle che compongono 
il primo termine. Sarà quindi 
n' = n ' j -+- n' 2 . 
Consideriamo ora il secondo termine come composto dal prodotto di due mo- 
nomii; l’uno che contiene ri v lettere ripetute, l’altro che contiene n' 2 lettere 
che non sono nel primo termine e cioè non ripetute. Il numero dei valori 
del secondo termine risulterà dal prodotto dei numeri dei valori dèlie sue 
due parti, come si è dimostrato dissopra. Ora il numero dei valori del secondo 
termine risultante dalle permutazioni delie lettere non ripetute, per ogni de- 
terminato valore del primo termine, si calcola come abbiamo dissopra indi— 
dicato nel prob. Il, e quindi per ciò che ivi si disse, si avrà: 
(m — n)(m — n — 1) . . . [m — n — n (2 X 1) 
(i. 2. 8 . . . p')(t. 2. 8 ... q') ... 1. 2. 3 ... 5) ' 
Esaminiamo in questo secondo termine la parte, che contiene le n' v lettere 
ripetute, ossia che si trovano ancora nel primo termine. Noi dobbiamo tro- 
va?’e quale è il numero dei valori che l’insieme delle lettere ripetute può ri- 
cevere per tutte le permutazioni, già eseguite sulle stesse lettere nel primo 
termine: e a questo effetto distinguiamo due casi : 
1 . ° Se le lettere ripetute sono di quelle, che nel primo termine hanno 
gli esponenti tutti diversi fra loro , egli è chiaro , che qualunque siano gli 
esponenti, che le dette lettere hanno nel secondo termine, ad ogni determi- 
nato valore del primo termine corrisponderà, un sol valore del secondo per 
quanto riguarda alla parte formata da lettere ripetute. Quindi l’intero secondo 
termine avrà tanti valori distinti per ciascun vaiore del primo termine, quan- 
ti sono i valori distinti delle parte formata dalle lettere nou ripetute, e già 
calcolati colla forinola superiore. 
2. ° Se le lettere ripetute sono di quelle, che nel primo termine hanno gli 
esponenti uguali fra loro, supponiamo, pér fissare l’idee, che siano ripetute 
nel secondo termine le p lettere, che nel primo termine hanno gli esponeuti 
loro uguali ad « , e che iuoltre delle p lettere ripetute ve ne siano , nel 
