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m[m — 1) (m — 2) 
Ì. 2. 3 
e cosi di seguito fino all' ultimo gruppo, il quale per le ragioni adotte potrà 
considerarsi per un gruppo doppio, e fornirà quindi il divisore (m — l)m; 
ne risulterà in questo caso che la somma degli m gruppi ha un sol valore, 
e che quindi la funzione data è simmetrica. I gruppi elei termini omologhi, 
nelle funzioni algebriche a lettere ripetute, hanno una analogia colle funzioni 
omologhe a lettere non ripetute , ma occupano un grado più elevato nella 
scala dell’ Analisi Combinatoria. E qui ci sia lecito il fare osservare , come 
la soluzione del problema in questo caso e nel seguente merita particolare 
attenzione, siccome quelle, che hanno presentato la maggiore difficoltà a su- 
perarsi per compiere la teoria di cui ci occupiamo. 
3.° Caso. Mentre i due precedenti casi per le superiori considerazioni 
rientrano nella regola generale, ne fa assolutamente eccezione il terzo , nel 
quale la funzione data, a lettere ripetute, ha in termini omologhi fra loro con 
gli esponenti tutti uguali, e i moltiplicatori lutti differenti contengono una 
sola lettera, meno uno che ne ha due. Per esempio 
ab h- he -h cd h— de -+- ef -t- fa . 
Una attenta considerazione ci fa scorgere, che questa funzione è ciclica su m 
lettere, e invariabile per tutto le permutazioni circolari su tutte le m let- 
tere, che sono appunto m . 11 numero dei valori diversi in questo caso sono 
adunque 
m(m — 1 ) (m — 2) 4, 3. 2. 1 
m 
Ma di questo si tratterà espressamente nel Problema XII. 
Problema XI. Data una funzione di m lettere , algebrica razionale ed 
intera, irriducibile, a lettere ripetute, e coi termini tutti omologhi fra loro, 
i cui esponenti siano qualunque, si domanda il numero dei valori, che essa 
può prendere , quando si permutano le m lettere in tutti i modi possibili , 
purché non sia funzione ciclica. 
Per risolvere questo problema è necessario dimostrare diversi lemmi , 
che corrispondono ad altrettanti casi speciali del proposto problema , dai 
quali scaturisce spontanea la soluzione cercata. 
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