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Lemma I. Una funzione di m lettere , che non sia ciclica , la quale 
contenga tutti e soli i termini omologhi appartenenti ad uno stesso gruppo 
(Def. IV) ha m valori distinti. 
Indichiamo con p(&, c, d . . . . I) una funzione invariabile per tutte le 
permutazioni di m — 1 lettere; la funzione data sarà, per ipotesi, della forma 
a K (p(b, c, d . . . . I) . 
11 numero dei valori del primo fattore a* , per tutte le permutazioni delle 
m lettere, è evidentemente m ; il secondo fattore per ogni determinato va- 
lore del primo a u , ha un sol valore, dunque i valori distinti della data fun- 
zione sono m e si possono esprimere colla foratola 
m 
( m — \)(m 2) . . .■ . 3. 2. 1 
1. 2. 3 (in — 2 )(m — 1) 
Lemma IL Una funzione di m lettere , che contenga tutti e soli ter- 
m(m — 1) 
mini omologhi, appartenenti a due gruppi, avrà 
1 . 2 . 
valori distinti. 
La funzione data, per ipotesi, sarà della forma 
a*(p(b , c, d . . . . I) - 4- bP(p(a, c, d ... I) , 
e perciò che si ò dimostrato nel lemma precedente , tanto il primo gruppo 
quanto il secondo hanno m valori differenti, per tutte le permutazioni delle 
in lettere fra loro. Ma considerando la loro somma , il secondo gruppo non 
può avere che m — 1 valori distinti per ciascun determinato valore del primo 
gruppo , il quale ne ha m. Inoltre siccome le permutazioni che cangiano 
interamente il primo gruppo nel secondo, e viceversa, non alterano il valore 
della loro somma, così il numero dei valori distinti è dato dalla detta formola: 
m(m— 1 ) 
1. 2. 
Osservazione. Questa espressione è compresa nella formola generale del 
2.° Caso del Probi. X, e cioè 
(m — 1 )(m — 2) .... 2 . 1 ., 
m - — ^-4 — (m — 1 ) 
1 . 
(m — 1) 
(m — 2 )(m — 3) ....2.1^ \ 
~ \ . 2 . 3 . . 777(m— 2 ) x ITT ' 
Il ragionamento usato nella dimostrazione di questo lemma si può estendere 
a due, tre , quattro etc. . . . gruppi ; ed i! calcolo è analogo a quello che si 
