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è fatto per le funzioni algebriche a lettere ripetute , che contengono solo 
termini omologhi ad esponenti tutti uguali. 
Lemma III. Una funzione algebrica di m lettere, che contenga tutti e 
soli i termini omologhi appartenenti ad m gruppi ha un sol valore , ed è 
una funzione simmetrica. 
Da quanto si dimostrato nel lemma precedente, il numero dei valori di- 
stinti, che la data funzione può prendere, è espresso dalla forinola : 
m 
( m — i i . . . . 2. 1 
(m — 2) .... 2. 1 
1. 2. 3. 
(m 
rri i .»....(«■=*) (m-2) 
x 
1 . 2 ...?» 
Ma una funzione di più quantità, che non cambia valore , per tutte le 
permutazioni possibili delle quantità, che essa contiene, è simmetrica, dunque 
la funzione data é simmetrica c. s. d. d. 
Osservazione. La proposizione inversa è facile a dimostrarsi , e cioè : 
ogni funzione simmetrica di m lettere è composta della somma di m gruppi 
diversi. E qui cade in acconcio di osservare ancora, che, mentre le funzioni 
simmetriche rispetto al numero dei valori sembrano assai semplici, sono in 
fatto, rispetto all’Analisi Combinatoria, assai complicate, e contengono tre ordini 
diversi di permutazioni e cioè : delle lettere fra loro in ciascun termine : 
dei termini fra loro : e infine dei gruppi. 
Lemma IV. Una funzione algebrica di m lettere che contenga uno o più 
Gruppi di termini omologhi, ma meno di m: e che inoltre contenga un’altro 
termine omologo appartenente a un nuovo gruppo, ha un numero di valori 
espresso dalla formola 
rn(m — 1) .... 3. 2. 1 (m — n) . . . (m — n — u'h-I) n[n — 1 )....(» — x — yxl) 
1.2.3....» X 1 .2.3...px 1 .2...qX .... * 1 .2.3. . . xx 1 .2 . . . y 
11 numero dei valori, che nella data funzione possono prendere i gruppi 
di termiui omologhi, che noi supporremo in minierò di », per tutte le per- 
mutazioni delle m lettere fra loro, è dato dalla formola : 
m(m — l)(m — 2) . . . . (m — nxl) 
1.2.3....» ’ 
ossia il numero dei valori distinti degli » gruppi è ngualc ai numero dei 
valori distinti del termine 
(a, b, c, d . . . . nf , 
