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Ora da quanto si è esposto, si vede che il numero degli ordini diversi 
di m lettere è uguale al numero dai poligoni regolari di m lati, che si pos- 
sono immaginare. D\ altronde è dimostrato, che questo numero è uguale al 
numero dei numeri primi e inferiori ad m , considerando però per poligoni 
diversi quelli, che sono di forma uguale , ma hanno contraria la direzione , 
colla quale furono costruiti: e cioè procedente per gli uni da sinistra a de- 
stra, e per gli altri da destra a sinistra, ritenendo per positivi gli uni e per 
negativi gli altri. Che se si considerano soltanto le forme diverse astraendo 
dalle loro direzioni, così i poligoni , come gli ordini diversi accennati risul- 
tano uguali alla metà del numero , che indica quanti sono i numeri primi 
e inferiori ad m, numero che è sempre pari per m >. 2 , come si conosce 
dalla teoria dei numeri. Da ciò ne conseguita che, supposto 
m = m,*.m/m z 7 , 
dove m L , m 2 , m 3 , . . . . , designano numeri primi assoluti , i numeri primi 
relativi e inferiori ad m sono tanti quanti ne indica la forinola conosciuta 
n = m 1 K-1 .'m 2 ' e-1 .m 3 v ~ 1 (m l — l)(m 2 — l)(m 3 — 1) , 
e quindi il numero dei poligoni regolari diversi di m lati e il numero degli 
ordini distinti, sui quali si eseguiscono le permutazioni circolari di m lèttere 
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sono uguali a — n e finalmente il numero delle permutazioni circolari, che 
su questi diversi ordini si possono eseguire sono , fra tutte le permutazioni 
possibili in numero di 
n.m 
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Definizione V. Appelliamo in seguito Permutazioni Circolari semplici sopra 
m lettere, quelle che muovendo da uno di questi ordini, nel quale si procede 
di lettera in lettera con un dato intervallo h, (essendo h numero inferiore e 
primo ad m) permutano circolarmente tutte le m lettere. 
Veniamo ora a considerare i diversi ordini dai quali può muovere ogni 
permutazione circolare sopra m lettere, che abbiamo veduto essere in numero 
di ti, dove 7 T indica quanti sono i numeri inferiori e primi ad m: e vediamo 
se anche fra essi si possa ammettere un ciclo o periodo, in guisa che si 
possa da un ordine dato passare ad un altro, con un certo intervallo, e dal- 
l'ultimo ritornare al primo. 
