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Torniamo ora alle m lettere, disposte in cerchio ai vertici di un poligono 
regolare di m lati. Prendiamo in questo poligono gli angoli di m v in «i,, e 
siccome m v si suppone primo ad m, noi formeremo un secondo poligono di 
m lati. Ora egli è evidente che in questo secondo poligono possiamo pren- 
dere i vertici di m 9 in m 9 , essendo di nuovo m 2 un numero primo ad m,, 
in modo da formare un terzo poligono di m Iati, e così di seguito .... Ma 
queste due operazioni equivalgono all’unica, colla quale si prendono i v er- 
tici del poligono primo, o le lettere che li designano di m l m 2 in m L , ni 2 , dunque 
si può direttamente passare dal primo poligono al terzo. Da ciò ne segue 
che da un ordine in cui si procede con un dato intervallo m t primo ad m 
si può passare ad un altro, in cui si procede con intervallo m 2 pure primo 
ad m, e da queste ad un terzo in cui si proceda con un intervallo m 3 prima 
ad ni', e che il risultato è identico a quello che si sarebbe ottenuto, deri- 
vando d terzo ordine direttamente dal primo con un intervallo costante uguale 
al prodotto dei due intervalli pei quali si è trapassato. Quello che si è detto 
per due, vale evidentemente per più ordini, e più intervalli. 
Perchè sia possibile che fra due o più di questi ordini dati, nei quali 
tutti proccdesi con un dato intervallo costante, esista un ciclo o periodo egli è 
necessario, che passando da un ordine all’altro con una data legge si ritrovi 
linalmente dopo l’ultimo il primo. Consideriamo , per fissare le idee , che 
l’ordine da cui si muove sia quello in cui si prendono i punti dall'uno nel- 
l’altro, o di 1 in 1, nell’ordine naturale, e che l’intervallo con cui si pro- 
cede nel passare dal primo ordine al secondo sia a; e il poligono dato di m lati. 
Egli è evidente, che, se in un poligono si prendono i vertici di x in x, 
e nel poligono risultante si prendono di nuovo i vertici di a; in a; e si uniscono 
per formare un terzo poligono, e così di seguito, queste successive operazioni 
equivalgono a formare direttamente dal primo poligono dato tanti diversi po- 
ligoni, unendone i vertici 1° di x in x 2° di x 2 in x 2 , 3° di ar in x z ... . 
e infine di x n in x n . Ma per ipotesi , unendo i vertici di x n in x' 1 si ricade 
sul primo poligono stesso, d’onde si è partiti, come si fossero presi i vertici 
di 1 in 1, dunque l’intervallo x n col quale si si salta da un punto all’altro, 
ritorna alla unità relativamente al numero m cioè a dire é uguale all’unità 
più un multiplo di m, in guisa che si ha 
x n — l — t— M. m. ovvero x n = 1 (mod. m). 
Questa equazione contiene tutte le proprietà dal numero x, che sono 
