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infinite; intanto si vede, che tutte quelle delle radici dello congruenze gli 
sono communi, e mi piace di notare precisamente che il numero delle solu- 
zioni in numeri interi, che appunto sono quelle che si cercano, non è mag- 
giore di n, dove n indica quanti sono i numeri inferiori e primi ad m , che 
esprime il numero delle lettere. 
Passiamo ora a determinare il numero, che esprime la legge colla qua- 
le si passa da un ordine dato al successivo , e che abbiamo designato più 
sopra con x. Questa legge come si è veduto altro non è che uu intervallo, 
pel quale si salta da una lettera alla successiva, per passare da un primo 
ordine dato e determinato al successivo , e da questi al terzo e così di se- 
guito fino all’ ultimo, dal quale, collo stesso intervallo procedendo, si ritorna 
all’ordine primo, da cui ci siamo mossi. 11 numero, o l’intervallo x deve es- 
sere primo relativameute ad m , e perchè dopo Vn simo ordine si ritorni al 
primo, deve soddisfare alla equazione x n =1 -t- Mm e quindi alla congruenza 
x n = 1 (mod. m). 
Perchè adunque fra n ordini sia possibile un periodo è necessario e suf- 
ficiente , che l’ intervallo x col qaale si passa dal primo al secondo, dal se- 
condo al terzo; e finalmente dall’ultimo al primo, soddisfaccia alla congruenza: 
x n = 1 (mod. m ). 
Se l’intervallo dato, è eguale a una radice intera della congruenza sarà 
possibile il periodo ciclico cercato; che se la congruenza non ammette radici 
intere, non è possibile alcun periodo fra gli ordini proposti. 
Definizione Appelliamo d’ora in avanti Permtazioni circolari composte 
quelle, che, muovendo da un ordine dato, e procedendo con dato intervallo 
in rapporto costante, permutano circolarmente gli ordini fra loro. 
Ora se si scrivono i risultati delle permutazioni circolari semplici su un 
dato ordine in linea orizzontale, e i risultati delle permutazioni circolari com- 
poste fra i diversi ordini in una linea verticale, otteremo m.n permutazioni 
diverse. Dalla prima delle quali, per quanto si è detto di sopra procedendo 
eoH’inlervallo rn-x si passa a tutte le altre e si ritorna in ultimo alla prima, 
e così insieme si costituisce un vero e proprio Periodo ciclico , nel quale il 
prodotto dei più alti elementi delle serie è m.n dove n deve soddisfare alla 
congruenza 
x n = 1 (mod, m) , 
