designimelo n il numero degli ordini diversi, o delle linee orizzontali del no- 
stro quadro sopra descritto. (Per avere più ampie spiegazioni sui periodi ci- 
clici, si veda Berkann, Aufliisung der Diophantischen Gleichungen Capt. Vili, 
Halle 1853.) Il massimo periodo ciclico che si possa formare con m lettere 
non può contenere più m n permutazioni, designando - il numero dei numeri 
inferiori e primi relativamente ad m, perchè come si sa dalla teoria dei nu- 
meri, la congruenza a;" = 1 (mod. m) non può avere più di ~ radici, o solu- 
zioni intere, e quindi n non può superare Passiamo ora alle funzioni. 
Definizione VII. Diremo funzione ciclica semplice, una funzione algebrica, 
razionale, irriducibile, a lettere ripetute, la quale non cambia valore per le 
m permutazioni circolare semplici su tutte le m lettere, che essa contiene. 
Definizione Vili. Diremo inoltre funzione ciclica composta , quella che 
non cambia valore per tutte le permutazioni, che appartengono ad un periodo 
ciclico. 
Teorema. T na funzione algebrica di m lettere, che contenga m termini 
omologhi, e appartenenti ciascuno ad un gruppo diverso, e in ciascuno dei 
termini della quale le lettere si succedono con un intervallo costante , in- 
feriore e primo relativamente ad m , è una funzione ciclica semplice. 
Sono, per esempio, funzioni circolari semplici, le dne seguenti : 
/v» 7» 3 /y, i rp /y» 3/y, i nr t L _ /y 1 t ^ nn l - o 1 / T* ^ or 
•Xl 2 «A/ ^ I IV t*'» 1 (A/ J 7 IV ^ 
ovvero 1’ altra 
x i x z x 5 -+- X 3 X.X 2 -i- X'X. l X i -+- X^XjX^ X i X i X 3 . 
Ogni permutazione circolare su m lettere , nella quale le lettere stesse 
si succedono con un intervallo uguale a quello delle lettere nei termini della 
funzione data , non può che permutare un termine nell’ altro. Imperocché , 
le m permutazioni circolari semplici cominciano ciascuna da una lettera di- 
versa, dalla quale si procede con intervallo costaute; e giunti alla (m - f- 1), 
si ricade sulla prima. Ora i termini della funzione data cominciano tutti 
per una lettera diversa dalla prima degli altri termini , perchè appartenenti 
ciascuno ad un gruppo diverso ; le lettere vi si succedono con intervallo 
costante uguale al già detto , e sono in numero di m : dunque per cia- 
scuna permutazione circolare semplice già determinata , (che muove da un 
dato ordine) i termini si permutano infatti circolarmente 1’ uno nell’ altro , 
e però la funzione è ciclica semplice c. s. d. d. 
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