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Teorema. Una funzione algebrica, razionale ed intera di m lettere, che 
contenga solo termini omologhi, e formata dalla somma di due o più funzioni 
cicliche semplici, se dall’ un termine si passa agli altri di uno stesso gruppo 
procedendo per intervalli uguali alle potenze h , li 2 , h 3 ..,. li 1 , dove li è in- 
feriore e primo ad m, e dall’ultimo si ricada sul primo, ossia li 1 = 1 (mod. ni); 
o per una permutazione circolare composta ; è una funzione ciclica com- 
posta. 
Sono funzioni circolari composte per esempio le due seguenti : cioè 
X“X lì <2 X^- J r- X^x/xJ-'r- X z a X,f'X.J-+- X ^ X / X ^ X*X^X^-\- 
x*x\x K J -\- x/x^x 3 v -+- xfx/x^-i- x/'x/x^-^ x^x^xj ; 
e 1’ altra 
/y» /y> 2 /y» 3 | nr rp 3 | ,y 2 pp 3 i rp rp 2 /y» 3 . _ rp rp 2 rp 3 i 
1 ^2 ^5 ■ ^ 2^3 i tX ' ^ X 1 ^ ^ 1 *^2 
/y /y 2 /y 3 » /y> /y 2 3 i , /y /y 2 /y 3 t _ /y /y 2 /y 3 i rp rp 2 ,y 3 i . 
^5 I i t ^ 2 l ^4 d' ^ i t ~ 4 t ^ , l *^"3 
/y /y 2 /y. 3 ; /y /y 4 ,y O i /y /y> 2 /y 3 i /y /y 2 3 < /y /y 2 ,y 4- t 
tA/^iA g tX | iX r, ■ cX ^ 'A/ ^ «A / 2 1 eA/gtX/2 d/ | 1 (A/ ,-jiA/ ^ cX ^ I 
/y /r» 2 /vi 3 . /y /y 2/y 3 1 rp /y» 2 /y 3 . /y /y 2 /y 3 ; zy /y 2 /y 3 
tX 2 I cX 5 I tAJ ^ tX ^ I 1 tX r) tX | • 
Abbiamo definito funzione ciclica composta, quella che non cambia va- 
lore per tutte le permutazioni che appartengono ad un periodo ciclico ; ora 
le m permutazioni corcolari semplici, delle linee orizzontali pei due esempi 
proposti, non cambiano valore alla funzione data, come si è visto nel pre- 
cedente teorema , e inoltre non cambia neppure valore per le permutazioni 
circolari composte, che sostituiscono fra loro le linee, dunque la proposta è 
una funzione ciclica composta 
Problema XII. Date m lettere e una funzione , algebrica, razionale , a 
lettere ripetute, e ciclica semplice, non simmetrica ; si domanda il numero 
dei valori , che essa può assumere , quando si permutano le m lettere fra 
fra loro in tutte le maniere possibili. 
Una funzione ciclica semplice, qualunque sia l’ intervallo con cui si suc- 
cedono le sue lettere , purché sia primo relativamente ad m , è invariabile 
per tutte le permutazioni cicliche semplici le quali sono in numero di m ; 
e d’altronde tutte, le permutazioni possibili daranno valori diversi della data 
funzione ; perchè, o, saranno circolari composte su tutte le lettere, il cui in- 
tervallo, primo ad m , è diverso da quello della proposta funzione, e que- 
sta cambierà neeessariamente valore ; mentre in caso contrario , questo se- 
