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condo ordine, o disposizione, dovrebbe essere uguale al primo, il che è con- 
tro quanto si è dimostrato dissopra : o saranno circolari sopra una parte 
sola delle rn lettere , con un intervallo summultiplo di m , e allora , per- 
mutando alcune lettere e non le altre dovrà certamente rimanere alterato 
bordine delle lettere in alcuni termini della data funzione, lasciandolo in al- 
tri intatto, e quindi deve necessariamente cambiare il valore della proposta. 
La quale ricevendo valori diversi per tutte Je permutazioni, eccetto che per 
le m circolari semplici, ha un numero di valori espresso dalla iormola : 
m[m — 1 ) (m — 2) 3. 2. 1 
m 
Problema XIII. Data una funzione algebrica, razionale ed intera di m 
lettere, irriducibile, a lettere ripetute, i cui termini siano tutti omologhi; e 
posto che la data funzione sia ciclica composta , si domanda il numero dei 
valori, che essa può prendere, quando si permutino fra loro le m lettere in 
tutti i modi possibili. 
Osserviamo in prima, che la funzione proposta, risultando dalla somma 
di due o più funzioni cicliche semplici su tutte le m lettere , contiene due 
o più termini per ciascuno degli m gruppi. ( Definizione VÌI e Vili e due pre- 
cedenti Teoremi). Ciò posto, calcoliamo il numero delle permutazioni, che non 
alterano il valore della funzione data : dal quale dedurremo immediatamente 
il numero dei valori distinti, che si domandano. Ora evidentemente le m per- 
mutazioni cicliche semplici, (sostituzioni circolari, o come altri dissero rien- 
tranti, di tutte le m lettere) applicate ai termini, qualunque ne sia il numero, 
appartenenti allo stesso gruppo, non faranno che permutare i termini stessi 
fra loro e non alterano il valore della funzione proposta , come si vide nel 
problema precedente. Ma inoltre vi possono essere altre permutazioni che non 
alterano il valore della proposta. Queste sono quelle permutazioni, che per- 
mutano fra loro i termini di uno stesso gruppo (che corrispondono agli ordini 
o poligoni diversi dissopra accennati) o le lettere di uno stesso termine, le quali 
abbiano esponenti uguali ; senza modificare però le permutazioni cicliche su 
tutte le lettere, che abbiamo prima considerate. 
Vediamo ora come si possono mettere in equazione tutte queste con- 
dizioni. 
Siano [j. le funzioni cicliche semplici, o i termini appartenenti alio stesso 
gruppo ; la proposta essendo funzione circolare composta , per ipotesi , sa- 
