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ranno ancora p le permutazioni dei termini di uno stesso gruppo, che equi- 
valgono alle sostituzioni circolari nel ciclo degli ordini diversi, o nel periodo 
dei poligoni di m vertici. In questo ciclo o periodo si procede da un ordine 
o da un poligono ad un altro con intervalli in rapporto costante fra loro, i 
quali intervalli sono uguali a quelli con cui si succedono le lettere in cia- 
scuno dei termini di uno stesso gruppo nelle funzioni circolari semplici, che 
formano la proposta. E quindi indicando con ra t , m 2 , m 3 m ^ gli inter- 
valli dei diversi termini appartenenti ad uno stesso gruppo, sarà 
m i m 2 m z m /x — n , 
indicando con n 1’ intervallo , con cui si passa dal primo termine all’ jx’"’ 1 *- 
Ma questo intervallo si può anche esprimere con dunque si avrà z“ == n 
(mod. ni). 
Siano ora x le permutazioni delle lettere di uno stesso termine, affette 
da esponenti uguali , che non alterano il valore della proposta ; sarà 
x — 1. 2. 3 ...p x 1. 2....g , se p , e q indicano il numero delle lettere che 
hanno esponenti ugnali ad « , a /3 .... rispettivamente. Queste sono soggette 
alla condizione di non modificare le m permutaziani cicliche semplici, che si 
fanno fra i termini analoghi degli m diversi gruppi, il che equivale alla con- 
dizione che x , ed m siane primi fra loro. Ma fra tutte le permutazioni cir- 
colari composte, vi sono ancor queste evidentemente, le quali non alterano 
la proposta, dunque ripetendo questo ciclo a; volte si troverà n x = 1 (mod. 
m), ossia 2 /»*=! (mod. m) e quindi px — rc 
— dove 
a 
ti indica quanti sono i 
numeri inferiori e primi relativamente a m, ed un divisore qualunque del 
numero n; e quindi /■ i.m.x il numero delle permutazioni cercato. 
E in altro modo, io dico, che la equazione di primo grado indetermi- 
nata a due incognite ; 
nx — my — — i 
contiene le condizioni richieste a determinare il numero cercato delle permu- 
tazioni, cioè 
m . n . x . 
E per dimostrarlo, ritorniamo alla serie de’ punti 
a,b,c,d,e,f,g...a 
in numero di m e disposti in cerchio. Partendo dal primo punto a , unia- 
