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PARTE SECONDA 
COME SI POSSONO FORMARE LE FUNZIONI ALGEBRICHE RAZIONALI , 
CHE ABBIANO UN DATO NUMERO DI VALORI. 
S- »• 
Problema I. Determinare quali sono funzioni di m lettere, che abbiano 
m — 1 valori distinti, quando vi si permutano fra loro le lettere in tutti i 
modi possibili. 
Cominciamo dal considerare le funzioni algebriche, che abbiamo appel- 
late funzioni ciclicle semplici. Il numero dei valori diversi delle quali è espresso 
dalla formola 
m'm — l)(m — 2) .... 4. 3. 2. 1 
m 
la quale, per ipotesi, dovrà essere uguale ad m — i , e quindi ne risulta 
m[m — l)(m — 2 ) .... 4. 3 . 2 . 1 = m(m — ■ 1) . 
Ora perchè questa equazione sussista per qualunque valore di m, egli è ne- 
cessario è sufficiente , che il numero dei fattori sia uguale nell' un membro 
e nell’ altro. Dovrà adunque essere m — 2=1, e quindi m — 3. Risulta 
adunque dimostrato il seguente : 
Teorema I. Una funzione algebrica , razionale , la cui forma è ciclica 
semplice, che contiene m lettere, non può avere m — 1 valori distinti, che 
nel solo caso in cui si ha m = 3. 
Il trovare poi effettivamente la funzione cercata da quanto si è esposto 
dissopra, è opera assai agevole; mentre questa deve essere ciclica, semplice, 
come fu superiormente definita ; e quindi della forma 
a“è /3 h- fa-cP , 
che è appunto una funzione di tre lettere, che ha due valori solamente, ed 
è la risolvente dell’ equazione generale di terzo grado. 
Passiamo ora a considerare le funzioni algebriche a lettere non ripetute, 
le quali sono composte di tutti termini omologhi fra loro, Egli è evidente , 
