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che in questo caso si deve avere, il numero delle lettere 
m = nq , 
ossia m un numero composto almeno di due fattori : perchè le lettere m 
si possano dividere in n termini di q lettere, o viceversa in q termini di n 
lettere. In questa ipotesi il numero dei valori, che le funzioni possono pren- 
dere per tutte le peamutazioni possibili è dato dalla formola : 
m(m — ì)(m ■ — 2 )(m — 3) .... 4. 3. 2. 1 
1. 2. 3. 4 . . . . n(1 . 2. 3 . . . . g)" ’ 
ehe per condizione dovrà divenire uguale a m — 1, qualunque sia m, e quindi 
si dovrà avere : 
m(m • — l)(m — 2)(m — 8) 2. 1 =(m — 1)(1. 2. B • . . n)(1. 2. 3 . . . q) 9 . 
E siccome rn = nq si tolgano da ambedue i membri i fattori communi 
m , e m — 1 , e si avrà -, 
(m — 2 )(m — 3) ... 3. 2. 1 = (1. 2. 3 ... n ~1)(1. 2 ... (q — 1 )) n .q n ' L . 
Perchè questa equazione sia soddisfatta qualunque sia m è necessario in pri- 
ma che il numero dei fattori, che nel primo membro è di (m — 2), uguagli 
quello dei fattori del secondo membro, il quale è 
(n — I) -+- (q — 2) -+- 1 ; 
mentre l’unità deve essere contata una sol volta nel novero dei fattori. Ora 
equivale a 
m — 2 = (n — 1) -+- (q — 2) -+- 1 , 
m — n q‘ 9 
d’ altronde, per ipotesi, è m = nq , dunque 
e finalmente 
nq = n -+- q , 
n 
Ma dovendo q essere numero intero n non potrà essere dispari ; perchè n 
numero dispari non può essere multiplo di un numero pari n — 1. D’ altra 
parte n per essere pari, dovrebbe essere multiplo pari di (n — 1), ossia do- 
