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Ma siccome p è un numero primo, così a, b, c, d . . . . inferiori a p, 
e perciò il denominatore 
1. 2. 3 .... a x 1. 2. 3 .... b x 1. 2. fi. .... c x ... . 
che non divide p, dividerà il prodotto 
(. P — *)(P — 2)(p — 3) .... 4. 3. 2. 1, 
e quindi si avrà: 
p(p — i)(p — 2) . . . . 4. 3. 2. 1 
1.2 . i ... a x 1.2 . ... b x 1.2. ..c x... 
= 0 (mod p..) , 
come si doveva dimostrare. Vedi Gaus , Disquisitiones Arithmeticae. Sezio- 
ne III. art. 0 
Teorema IV. I! numero dei valori distinti, che una funzione algebrica 
razionale di m lettere può prendere per tutte le permutazioni possibili delle 
lettere fra loro, se è maggiore di 2, non può essere minore di m salvo il 
caso in cui sia m= 4. 
Distinguiamo quattro casi, e cioè 1 .° la funzione data è ciclica semplice; 
2.° è ciclica composta; 3.° è a lettere non ripetute, e termini tutti omologhi; 
4.° è di forma diversa dalle tre precedenti. 
Ne! primo caso, essendo la funzione data ciclica semplice il numero dei 
valori distinti, che essa può prendere, è dato dalla formola 
( m — 1 )(m — 2 )(m — 3) .... 4. 3. 2. 1 
ed il teorema è evidente. Perchè, qualunque sia m, se il prodotto è mag- 
giore di 2 non può essere minore di m evidentemente, mentre il suo più 
piccolo valore > 2 è uguale a 1.2, 3 — 6, e per m > 4 il valore aumenta 
rapidamente, in maniera continua. 
Nel secondo caso essendo la funzione data ciclica composta si avrà il 
numero dei suoi valori diversi, dalla formola 
m[m — 1 )(m — 2) .... 4. 3. 2. 1 . 
m. n. x 
Dove i nameri n, x sono soggetti alla condizione di essere primi a tu. Se 
indichiamo adunque con a, b, c, d . . . . u tutti i numeri primi relativamente 
a m si vede, che si avrà per il massimo valore di n x. 
n x== ab c d e . . . . u . 
