Egli è chiaro che i valori, che ciascuno degli n fattori così determinati 
può assumere per tutti i diversi valori di q , sono o l’unità, o q, o maggiori 
di q. Ora io dico, che eccetto i due ultimi tutti gli altri hanno valori o 
uguali a q, o maggiori di q. Infatti se q — n — 1 ossia q = n h- 1 si avrà 
[{q — n)Cq — n)] = [i P. 1] = 1, 
e il penultimo sarà: 
[(2 q — n) C q] e se q = n diverrà [q C q] = 1 
Tutti gli altri adunque saranno o uguali a q, o maggiori di q, essendo della 
forma 
l(n - 1) q C q]. 
Dunque il prodotto ( b ) ha un valore maggiore di 
n iq — *)(»(? — *) — ?)(»(? — 0 — 27 ) — (i. 2 . 8 . . . (q — n) , 
c quindi il prodotto 
. . (m — n)(m — n — i) .... 4. 3. 2. i i 
(c) ii. 8 :3.v...:,p :< i.ì 
avrà sempre un valore maggiore dell’ unità. Ciò posto il numero dei valori 
della funzione proposta , nella ipotesi in cui n <C q si può esprimere nella 
forma 
A.[m. C. n] , 
essendo A un numero maggiore dell’ unità , e che tien luogo , per brevità 
del prodotto (c)- Ma noi abbiamo già osservato che i valori di [m. C. n], 
per tutti i diversi valori di n, compresi fra 1 e m, sono o 1’ unità , o m, 
o maggiori di m • Ora per 1’ ipotesi ammessa nel teorema , non può avere 
per valore 1’ unità , perchè allora si dovrebbe avere ancora A = 1, e m —n 
e quindi in questo caso iì prodotto A [m Cn,]= 1, mentre abbiamo suppo- 
sto essere maggiore di 2 ; dunque il prodotto 
A.[m C n], 
che è per ipotesi, maggiore di 2, non può essere minore di m quando n < q, 
come si doveva dimostrare. 
Per addimostrare che questa conseguenza sussiste ancor quando n non 
è minore di q , ecco come si può procedere 
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