Ritenendo le stesse ipotesi m = n q , n > q , sia la funzione data di 
forma tale che il numero dei suoi valori sia espresso dalla formola 
(d) 
m(m — l)(m — 2) .... 4. 3. 2. 1 
1. 2. 3 . q (1. 2. 3 . . . n)* ' 
Ora io dico, che anche in questo caso il numero dei valori distinti della 
funzione proposta , se è maggiore di 2 non può essere minore di m. Infatti 
abbiamo dimostrato di sopra, che la espressione 
m(m — 1 )(m — 2) .... 4. 3. 2. 1 
^ 1. 2. 3 ... . n(l. 2. 3 .... q) n ’ 
non è minore di m, se è maggiore di 2, quando n <. q. Ma per le stesse 
ragioni devrà 1’ espressione ( e ) essere non minore di m, se è maggiore di 2, 
mentre al numeratore , e al denominatore della formola (d) è applicabile lo 
stesso ragionamento , che si è fatto sul numeratore e sul denominatore della 
formola (c) in cui è n. «< q. Imperocché , come si può vedere dalla for- 
mola (c), che diviene in questo caso 
(m — q)(m — q — 1) . . . 3. 2. 1 
(1. 2. 3. 4 . . . n)*" 1 
X 
I 
1. 2. 3. 
n 
nulla è alterato nel ragionamento che si può qui ripetere interamente. II 
medesimo si ha, se n — q. Dunque è dimostrato il teorema pel caso delle 
funzioni a lettere non ripetute , i cui termini siano tutti omologhi fra loro. 
Resta a dimostrarsi pel quarto ed ultimo caso in cui la funzione 
data è di forma diversa dalle precedenti. Il numero dei valori distinti è 
allora dato dalla formola : 
m(m — l)(m — 2) 4.3.2. I 
1. 2. 3 . . . a X 1. 2. 3 • . . fcX 1 - 2. 3 . . . c X . . . ' 
Questa si può porre sotto questa altra forma, come si è fatto di sopra 
[mCfl]. [ (m — a) C b ]. [ (m — a — ■ b ) C c ] . . . 
dove d+i + c -t-d-t-. ....— m. 
Ora noi già sappiamo per la teoria delle permutazioni che tutti questi 
fattori sono numeri interi , e potremo porre, 
[ (m — a) C b]- [ (m — a — b) G c] . • • • — A 
