essendo A un numero intero qualunque. La formola generale superiore di- 
verrà : 
[m C a]. A, 
i valori che [m C a] può assumere per tutti i valori di a compresi fra 
1 e m sono o l'unità, o m, o maggiori di in ■ Ma per ipotesi ammessa non 
può avere per valore l'unità, perché allora si dovrebbe avere anche A= 1, 
e il prodotto A[m C a] = 1, mentre abbiamo supposto essere maggiore di 2, 
dunque il numero dei valori della proposta , se è maggiore di 2 non può 
essere minore di m. 
Osservazione . Questo è il teorema conosciuto sotto il nome di Bertrand 
VX 
che lo ha dimostrato pel primo, partendo dal postulato che fra ■ — era — 2 
2 
vi sia sempre un numero primo, quando m >• 7- 
§ 2 . 
Problema II. Dato un numero m di lettere , ed N numero intero qua- 
lunque, si domanda come si possono formare le funzioni algebriche razionali 
di m lettere le quali abbiano N valori distinti- 
si ponga per brevità il prodotto dei numeri naturali da 1 ad m uguale 
ad M: e cioè 
1 . 2. 3. 4 ... (m — 1 )m= M. 
Se N esprime il numero dei valori diversi che la funzione cercata può am- 
mettere, sarà, come si è veduto dissopra — il numero dei valori uguali della 
stessa. 
M 
1. Ora poniamo che il rapporto — sia per ipotesi uguale ad m, cioè 
M 
N 
= 771 . 
Egli è chiaro che può la funzione cercata essere ciclica semplice, 
e che quindi tutte le funzioni di queste specie soddisfanno al quesito. Il nu- 
mero poi delle funzioni cicliche semplici , che si possono formare , è un nu- 
mero limitato , che si potrebbe senza niuna difficoltà calcolare. Ma per non 
deviare dalla soluzione , che ci siamo proposta , tralasceremo questo parti- 
colare , che non è parte integrante della stessa. 
